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la cuevadel empollón
Matemáticas IIAndalucíaPAU 2010ExtraordinariaReserva A

Matemáticas II · Andalucía 2010

4 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
a) Duración: 1 hora y 30 minutos. b) Tienes que elegir entre realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción A o realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción B. c) La puntuación de cada pregunta está indicada en la misma. d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara. e) Se permitirá el uso de calculadoras que no sean programables, gráficas ni con capacidad para almacenar o transmitir datos. No obstante, todos los procesos conducentes a la obtención de resultados deben estar suficientemente justificados.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Sea la función f:R→Rf : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} dada porf(x)={ex(x2+ax)si x≤0bx2+cx+1si x>0f(x) = \begin{cases} e^x(x^2 + ax) & \text{si } x \leq 0 \\ \frac{bx^2 + c}{x + 1} & \text{si } x > 0 \end{cases}Calcula las constantes aa, bb y cc sabiendo que ff es derivable y que la recta tangente a la gráfica de ff en el punto de abscisa x=1x = 1 tiene pendiente 33.
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Dada la función ff definida por f(x)=3x2−5x+4f(x) = \frac{3}{x^2 - 5x + 4} para x≠1x \neq 1 y x≠4x \neq 4. Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de ff, el eje de abscisas, y las rectas x=2x = 2 y x=3x = 3.
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Considera las siguientes matricesA=(−1201)yB=(−302−1)A = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \quad \text{y} \quad B = \begin{pmatrix} -3 & 0 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}
a
Calcula A−1A^{-1}.0,75 pts
b
Resuelve la ecuación matricial AXAt−B=2IAXA^t - B = 2I, donde II es la matriz identidad de orden 2 y AtA^t es la matriz traspuesta de AA.1,75 pts
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Considera los puntos A(1,2,1)A(1, 2, 1) y B(−1,0,3)B(-1, 0, 3).
a
Calcula las coordenadas de los puntos que dividen el segmento ABAB en tres partes iguales.1,25 pts
b
Halla la ecuación del plano perpendicular al segmento ABAB y que pasa por AA.1,25 pts
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Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Sea f:R→Rf : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} la función definida como f(x)=(x+1)3−x3f(x) = (x + 1) \sqrt[3]{3 - x}. Halla las ecuaciones de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica de ff en el punto de abscisa x=−5x = -5 y en el punto de abscisa x=2x = 2.
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Considera la función f:R→Rf : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} definida por f(x)=x∣2−x∣f(x) = x |2 - x|
a
Esboza su gráfica.1 pt
b
Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de ff, el eje de abscisas y la recta de ecuación x=3x = 3.1,5 pts
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Obtén un vector no nulo v⃗=(a,b,c)\vec{v} = (a, b, c), de manera que las matrices siguientes tengan simultáneamente rango 2.A=(11a10b11c)B=(20a0−1b31c)A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & a \\ 1 & 0 & b \\ 1 & 1 & c \end{pmatrix} \qquad B = \begin{pmatrix} 2 & 0 & a \\ 0 & -1 & b \\ 3 & 1 & c \end{pmatrix}
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Considera el plano π\pi definido por 2x−y+nz=02x - y + nz = 0 y la recta rr dada porx−1m=y4=z−12\frac{x - 1}{m} = \frac{y}{4} = \frac{z - 1}{2}con m≠0m \neq 0.
a
Calcula mm y nn para que la recta rr sea perpendicular al plano π\pi.1,25 pts
b
Calcula mm y nn para que la recta rr esté contenida en el plano π\pi.1,25 pts
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