Matemáticas II · Andalucía 2010

Sea la función $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ dada por $$f(x) = \begin{cases} e^x(x^2 + ax) & \text{si } x \leq 0 \\ \frac{bx^2 + c}{x + 1} & \text{si } x > 0 \end{cases}$$ Calcula las constantes $a$, $b$ y $c$ sabiendo que $f$ es derivable y que la recta tangente a la gráfica de $f$ en el punto de abscisa $x = 1$ tiene pendiente $3$.

Sea $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ la función definida como $f(x) = (x + 1) \sqrt[3]{3 - x}$. Halla las ecuaciones de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica de $f$ en el punto de abscisa $x = -5$ y en el punto de abscisa $x = 2$.

Dada la función $f$ definida por $f(x) = \frac{3}{x^2 - 5x + 4}$ para $x \neq 1$ y $x \neq 4$. Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de $f$, el eje de abscisas, y las rectas $x = 2$ y $x = 3$.

Considera la función $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ definida por $f(x) = x |2 - x|$

Considera las siguientes matrices $$A = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \quad \text{y} \quad B = \begin{pmatrix} -3 & 0 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}$$

Obtén un vector no nulo $\vec{v} = (a, b, c)$, de manera que las matrices siguientes tengan simultáneamente rango 2. $$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & a \\ 1 & 0 & b \\ 1 & 1 & c \end{pmatrix} \qquad B = \begin{pmatrix} 2 & 0 & a \\ 0 & -1 & b \\ 3 & 1 & c \end{pmatrix}$$

Considera los puntos $A(1, 2, 1)$ y $B(-1, 0, 3)$.

Considera el plano $\pi$ definido por $2x - y + nz = 0$ y la recta $r$ dada por $$\frac{x - 1}{m} = \frac{y}{4} = \frac{z - 1}{2}$$ con $m \neq 0$.