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la cuevadel empollón
Matemáticas IIAsturiasPAU 2017Ordinaria

Matemáticas II · Asturias 2017

4 ejercicios

Instrucciones

El examen presenta dos opciones: A y B. Elegir una de ellas y responder razonadamente a los cuatro ejercicios de que consta dicha opción.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Un boxeador ha disputado 20 combates en el año 2016. Por cada combate ganado cobraba 3 mil euros, 2 mil por combate nulo y mil por combate perdido. En total obtuvo 40 mil euros. Si las cantidades cobradas hubieran sido 6 mil euros por combate ganado, 4 mil por nulo y mil por perdido, habría obtenido 72 mil euros.
a
Plantea, en el campo de los números reales, el sistema de ecuaciones que modeliza el problema en función del número de combates ganados, hechos nulos y perdidos. Y, si es posible, calcúlalos.1,5 pts
b
Estudia si hay alguna cantidad kk que sustituya a los 6 mil euros por combate ganado que hiciera imposible la solución del problema dentro del campo de los números reales.1 pt
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Sean las funciones f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} y g:[0,+∞)→Rg: [0, +\infty) \rightarrow \mathbb{R} definidas por f(x)=x2/4f(x) = x^2/4 y g(x)=2xg(x) = 2\sqrt{x}.
a
Halla los puntos de corte de las gráficas de ff y gg.1 pt
b
Realiza un esbozo del recinto que queda limitado por las gráficas de las funciones entre esos puntos y calcula su área.1,5 pts
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Dadas las rectas r:{x+2y=−1z=1r: \begin{cases} x + 2y = -1 \\ z = 1 \end{cases} y s:x+1=y−12=zs: x + 1 = \frac{y - 1}{2} = z. Calcula:
a
Un vector director de cada recta.0,75 pts
b
El ángulo que forman las rectas.0,75 pts
c
El plano paralelo a las dos rectas y que pasa por el punto A(1,2,1)A(1, 2, 1).1 pt
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Una urna A contiene tres bolas numeradas del 1 al 3 y otra urna B, seis bolas numeradas del 1 al 6. Se elige, al azar, una urna y se extrae una bola.
a
¿Cuál es la probabilidad de que sea una bola con el número 1?1,25 pts
b
Si extraída la bola resulta tener el número 1, ¿cuál es la probabilidad de que proceda de la urna A?1,25 pts
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Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Sean las matrices A=(102k01)A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & k \\ 0 & 1 \end{pmatrix} y B=(k0−1112)B = \begin{pmatrix} k & 0 & -1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}.
a
Estudia, en función de los valores reales de kk, si la matriz B⋅AB \cdot A tiene inversa. Calcúlala, si es posible, para k=1k = 1.1,5 pts
b
Estudia, en función de los valores reales de kk, si la matriz A⋅BA \cdot B posee inversa.1 pt
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Se considera el arco comprendido entre los puntos P(0,1)P(0, 1) y Q(2,0)Q(2, 0) de la gráfica de la función y=a+bx+cx2y = a + bx + cx^2 con tangente en el punto PP paralela al eje OXOX.
a
Calcula los valores de aa, bb y cc.1 pt
b
Con a=1a = 1, b=0b = 0 y c=−1/4c = -1/4 y siendo A(m,n)A(m, n) un punto perteneciente a ese arco. Determina los valores de mm y nn para que el área del triángulo rectángulo ABCABC sea máxima.1,5 pts
Gráfica de una parábola con un triángulo rectángulo sombreado ABC inscrito bajo el arco entre P(0,1) y Q(2,0).
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Dados los puntos A(1,2,0)A(1, 2, 0), B(−1,1,1)B(-1, 1, 1), C(0,0,1)C(0, 0, 1), D(4,1,3)D(4, 1, 3). Determina:
a
Si los cuatro puntos son coplanarios.0,75 pts
b
La recta rr que pasa por DD y es perpendicular al plano π\pi que contiene los puntos A,B,CA, B, C.1 pt
c
El punto de corte de la recta rr con el plano π\pi.0,75 pts
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
En un asociación benéfica se reparten dos productos, harina y leche. Todas la personas que entran cogen dos unidades a elegir entre los dos tipos de producto. El 70%70\% de las personas que entran cogen harina y el 40%40\% los dos productos. Calcula:
a
La probabilidad de que una persona que entre coja leche.1 pt
b
La probabilidad de que una persona que entre coja un solo tipo de producto.0,5 pts
c
Una persona que sale de la asociación lleva leche. ¿Cuál es la probabilidad de que haya cogido también harina?1 pt
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