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la cuevadel empollón
Matemáticas IIAsturiasPAU 2017Ordinaria

Matemáticas II · Asturias 2017

8 ejercicios

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
2,5 puntos
Un boxeador ha disputado 20 combates en el año 2016. Por cada combate ganado cobraba 3 mil euros, 2 mil por combate nulo y mil por combate perdido. En total obtuvo 40 mil euros. Si las cantidades cobradas hubieran sido 6 mil euros por combate ganado, 4 mil por nulo y mil por perdido, habría obtenido 72 mil euros.
a)1,5 pts
Plantea, en el campo de los números reales, el sistema de ecuaciones que modeliza el problema en función del número de combates ganados, hechos nulos y perdidos. Y, si es posible, calcúlalos.
b)1 pts
Estudia si hay alguna cantidad kk que sustituya a los 6 mil euros por combate ganado que hiciera imposible la solución del problema dentro del campo de los números reales.
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Ejercicio 1 · Opción B

1Opción B
2,5 puntos
Sean las matrices A=(102k01)A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & k \\ 0 & 1 \end{pmatrix} y B=(k0−1112)B = \begin{pmatrix} k & 0 & -1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}.
a)1,5 pts
Estudia, en función de los valores reales de kk, si la matriz B⋅AB \cdot A tiene inversa. Calcúlala, si es posible, para k=1k = 1.
b)1 pts
Estudia, en función de los valores reales de kk, si la matriz A⋅BA \cdot B posee inversa.
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Ejercicio 2 · Opción A

2Opción A
2,5 puntos
Sean las funciones f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} y g:[0,+∞)→Rg: [0, +\infty) \rightarrow \mathbb{R} definidas por f(x)=x2/4f(x) = x^2/4 y g(x)=2xg(x) = 2\sqrt{x}.
a)1 pts
Halla los puntos de corte de las gráficas de ff y gg.
b)1,5 pts
Realiza un esbozo del recinto que queda limitado por las gráficas de las funciones entre esos puntos y calcula su área.
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Ejercicio 2 · Opción B

2Opción B
2,5 puntos
Se considera el arco comprendido entre los puntos P(0,1)P(0, 1) y Q(2,0)Q(2, 0) de la gráfica de la función y=a+bx+cx2y = a + bx + cx^2 con tangente en el punto PP paralela al eje OXOX.
a)1 pts
Calcula los valores de aa, bb y cc.
b)1,5 pts
Con a=1a = 1, b=0b = 0 y c=−1/4c = -1/4 y siendo A(m,n)A(m, n) un punto perteneciente a ese arco. Determina los valores de mm y nn para que el área del triángulo rectángulo ABCABC sea máxima.
Gráfica de una parábola con un triángulo rectángulo sombreado ABC inscrito bajo el arco entre P(0,1) y Q(2,0).
Gráfica de una parábola con un triángulo rectángulo sombreado ABC inscrito bajo el arco entre P(0,1) y Q(2,0).
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Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
2,5 puntos
Dadas las rectas r:{x+2y=−1z=1r: \begin{cases} x + 2y = -1 \\ z = 1 \end{cases} y s:x+1=y−12=zs: x + 1 = \frac{y - 1}{2} = z. Calcula:
a)0,75 pts
Un vector director de cada recta.
b)0,75 pts
El ángulo que forman las rectas.
c)1 pts
El plano paralelo a las dos rectas y que pasa por el punto A(1,2,1)A(1, 2, 1).
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Ejercicio 3 · Opción B

3Opción B
2,5 puntos
Dados los puntos A(1,2,0)A(1, 2, 0), B(−1,1,1)B(-1, 1, 1), C(0,0,1)C(0, 0, 1), D(4,1,3)D(4, 1, 3). Determina:
a)0,75 pts
Si los cuatro puntos son coplanarios.
b)1 pts
La recta rr que pasa por DD y es perpendicular al plano π\pi que contiene los puntos A,B,CA, B, C.
c)0,75 pts
El punto de corte de la recta rr con el plano π\pi.
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Ejercicio 4 · Opción A

4Opción A
2,5 puntos
Una urna A contiene tres bolas numeradas del 1 al 3 y otra urna B, seis bolas numeradas del 1 al 6. Se elige, al azar, una urna y se extrae una bola.
a)1,25 pts
¿Cuál es la probabilidad de que sea una bola con el número 1?
b)1,25 pts
Si extraída la bola resulta tener el número 1, ¿cuál es la probabilidad de que proceda de la urna A?
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Ejercicio 4 · Opción B

4Opción B
2,5 puntos
En un asociación benéfica se reparten dos productos, harina y leche. Todas la personas que entran cogen dos unidades a elegir entre los dos tipos de producto. El 70%70\% de las personas que entran cogen harina y el 40%40\% los dos productos. Calcula:
a)1 pts
La probabilidad de que una persona que entre coja leche.
b)0,5 pts
La probabilidad de que una persona que entre coja un solo tipo de producto.
c)1 pts
Una persona que sale de la asociación lleva leche. ¿Cuál es la probabilidad de que haya cogido también harina?
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