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la cuevadel empollón
Matemáticas CCSSCastilla y LeónPAU 2021Extraordinaria

Matemáticas CCSS · Castilla y León 2021

9 ejercicios

Instrucciones

El examen incluye tabla N(0,1) como anexo. OPTATIVIDAD: CADA ESTUDIANTE DEBERÁ ESCOGER TRES PROBLEMAS Y UNA CUESTIÓN Y DESARROLLARLOS COMPLETOS. CRITERIOS GENERALES DE EVALUACIÓN Cada problema se puntuará sobre un máximo de 3 puntos. Cada cuestión se puntuará sobre un máximo de 1 punto. Salvo que se especifique lo contrario, los apartados que figuran en los distintos problemas son equipuntuables. La calificación final se obtiene sumando las puntuaciones de los tres problemas y la cuestión realizados. Deben figurar explícitamente las operaciones no triviales, de modo que puedan reconstruirse la argumentación lógica y los cálculos efectuados.

Ejercicio 1 · Opción CUESTIONES

1Opción CUESTIONES
1 punto
Cuestiones
Un hijo tiene 2222 años menos que su padre y la suma de sus edades es 4646 años ¿qué edad tiene el hijo?
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Ejercicio 1 · Opción PROBLEMAS

1Opción PROBLEMAS
3 puntos
Problemas
En una panadería hornean todos los días tartas y bizcochos que venden a 1010 € y 66 €, respectivamente. Para fabricar una tarta se necesitan 400400 gramos de harina y 200200 de azúcar, mientras que para un bizcocho se utilizan 300300 gramos de harina y 100100 de azúcar. Los dueños de la panadería saben que diariamente tienen que hornear, al menos, 66 bizcochos. Para la producción de hoy de tartas y bizcochos se dispone de 66 kg de harina y 2,42{,}4 kg de azúcar. Utilizando técnicas de programación lineal, determinar la cantidad de cada uno de los productos que hay que hornear hoy para obtener los máximos ingresos.
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Ejercicio 2 · Opción CUESTIONES

2Opción CUESTIONES
1 punto
Cuestiones
Dada la función f(x)=ax−33+5xf(x) = ax - 33 + \frac{5}{x}, determinar aa para que verifique f′(1)=2f'(1) = 2.
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Ejercicio 2 · Opción PROBLEMAS

2Opción PROBLEMAS
3 puntos
Problemas
Se considera el sistema de ecuaciones lineales, en función del parámetro aa:{x−2y+z=1x+y−az=1x+2y−2z=−2\begin{cases} x - 2y + z = 1 \\ x + y - az = 1 \\ x + 2y - 2z = -2 \end{cases}
a
Clasificar el sistema según sus soluciones para los diferentes valores de aa.1,5 pts
b
Resolver el sistema para a=1a = 1.1,5 pts
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Ejercicio 3 · Opción CUESTIONES

3Opción CUESTIONES
1 punto
Cuestiones
La nota media de los alumnos de segundo de bachillerato de cierto instituto sigue una distribución normal de media 6,86{,}8 y desviación típica 1,11{,}1. Calcular la probabilidad de que un alumno haya obtenido más de un 99.
Datos
  • F(x)=12π∫−∞xe−12t2dtF(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{x} e^{-\frac{1}{2}t^2} dt
Gráfica de la función de distribución de una normal estándar con el área bajo la curva sombreada hasta un valor x.
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Ejercicio 3 · Opción PROBLEMAS

3Opción PROBLEMAS
3 puntos
Problemas
Se considera la función:f(x)={4−x2si x≤1bxsi x>1f(x) = \begin{cases} 4 - x^2 & \text{si } x \leq 1 \\ \frac{b}{x} & \text{si } x > 1 \end{cases}
a
Determinar el valor de bb para que f(x)f(x) sea continua.1,5 pts
b
Calcular el área delimitada por f(x)f(x) y el eje OXOX en el intervalo (0,1)(0, 1).1,5 pts
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Ejercicio 4

4
3 puntos
Problemas
Los estatutos de una asociación ecologista establecen que la asociación debe disolverse cuando supere los 100100 socios. Se sabe, además, que el número de sus socios varía con los años transcurridos desde su fundación, xx, de acuerdo con la función N(x)=x3−9x2+24x+64N(x) = x^3 - 9x^2 + 24x + 64.
a
¿Cuántos han sido los socios fundadores? Transcurridos 77 años, ¿cuántos socios habrá? ¿Se disolverá la sociedad en ese momento?1 pt
b
Estudiar el comportamiento (crecimiento, decrecimiento) del número de socios en el intervalo [0,7][0, 7] ¿cuál será el número mínimo de socios y cuándo se alcanzará?2 pts
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Ejercicio 5

5
3 puntos
Problemas
En un gimnasio, el 52%52\% de los socios son hombres y el resto son mujeres. Entre los socios, el 35%35\% de los hombres practica "spinning" así como el 60%60\% de las mujeres. Si elegimos un socio al azar,
a
Calcular la probabilidad de que practique "spinning".1,5 pts
b
Si el socio elegido no practica "spinning", obtener la probabilidad de que sea una mujer.1,5 pts
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Ejercicio 6

6
3 puntos
Problemas
El peso de la población adulta con sobrepeso sigue una distribución normal de media 120120 kg y desviación típica de 2020 kg. Además, a los individuos con un peso superior a 150150 kg se les considera "individuos con riesgo de desarrollar la enfermedad coronaria A".
a
¿Qué porcentaje de la población de adultos con sobrepeso son "individuos con riesgo de desarrollar la enfermedad coronaria A"?1,5 pts
b
Si se elige aleatoriamente una muestra de 2020 adultos con sobrepeso, calcular la probabilidad de que la media del peso de la muestra esté entre 110110 kg y 125125 kg.1,5 pts
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