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la cuevadel empollón
Matemáticas IIPaís VascoPAU 2021Extraordinaria

Matemáticas II · País Vasco 2021

10 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
El examen incluye tabla N(0,1) como anexo. Este examen tiene cinco partes, de 2,5 puntos cada una. Debes responder a CUATRO de ellas. En cada parte debes responder a una única pregunta. En caso de responder a más preguntas de las estipuladas, las respuestas se corregirán en orden hasta llegar al número necesario. No olvides incluir el código en cada una de las hojas de examen. No se podrán usar calculadoras que tengan alguna de las siguientes prestaciones: pantalla gráfica, posibilidad de transmitir datos, programable, resolución de ecuaciones, operaciones con matrices, cálculo de determinantes, cálculo de derivadas e integrales, almacenamiento de datos alfanuméricos.

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
2,5 puntos
Primera parte

Responda solo a uno de los dos ejercicios (A1 o B1).

Discutir el sistema de ecuaciones lineales que sigue, en función del parámetro α\alpha:{αx+2y−z=α2x+αy+z=2+αx−αy+2z=2α\begin{cases} \alpha x + 2y - z = \alpha \\ 2x + \alpha y + z = 2 + \alpha \\ x - \alpha y + 2z = 2\alpha \end{cases}Resolver el sistema para α=1\alpha = 1, si es posible.
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Ejercicio 1 · Opción B

1Opción B
2,5 puntos
Primera parte

Responda solo a uno de los dos ejercicios (A1 o B1).

SeanA=(10−21),B=(2021),C=(2201)A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}, \quad C = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}Calcular la matriz XX de orden 2×22 \times 2 que verificaA2⋅X+B=CA^2 \cdot X + B = C
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Ejercicio 2 · Opción A

2Opción A
2,5 puntos
Segunda parte

Responda solo a uno de los dos ejercicios (A2 o B2).

Sea rr la recta de ecuaciones paramétricas{x=t,y=2+2t,z=1+3t}\{x = t, y = 2 + 2t, z = 1 + 3t \}y sean A=(1,2,3)A = (1, 2, 3) y B=(3,2,1)B = (3, 2, 1). Encontrar la ecuación del plano paralelo a la recta rr y que pasa por los puntos AA y BB. Calcular la distancia de la recta rr a ese plano.
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Ejercicio 2 · Opción B

2Opción B
2,5 puntos
Segunda parte

Responda solo a uno de los dos ejercicios (A2 o B2).

Sean los puntos A=(0,2,1)A = (0, 2, 1), B=(1,b,0)B = (1, b, 0), C=(−1,0,2)C = (-1, 0, 2) y D=(1,1,1)D = (1, 1, 1).
a
Calcular el valor de bb para que AA, BB, CC y DD estén en el mismo plano.1,25 pts
b
El plano que contiene a los puntos AA, BB, CC y DD es perpendicular al segmento PQPQ y lo divide en dos partes iguales. Si P=(1,2,−3)P = (1, 2, -3), calcular las coordenadas de QQ.1,25 pts
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Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
2,5 puntos
Tercera parte

Responda solo a uno de los dos ejercicios (A3 o B3).

Estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función f(x)=x−4x2−4f(x) = \frac{x - 4}{x^2 - 4} y calcular sus máximos y sus mínimos.
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Ejercicio 3 · Opción B

3Opción B
2,5 puntos
Tercera parte

Responda solo a uno de los dos ejercicios (A3 o B3).

Sea f(x)=x4+Ax2+Bx+Cf(x) = x^4 + Ax^2 + Bx + C. Obtener los valores de AA, BB y CC para que en el punto de abscisa x=0x = 0 la recta tangente a la gráfica de ff sea y=2x−1y = 2x - 1 y en el punto de abscisa x=1x = 1 la recta tangente a la gráfica de ff sea horizontal. El extremo situado en el punto de abscisa x=1x = 1, ¿es máximo o mínimo?
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Ejercicio 4 · Opción A

4Opción A
2,5 puntos
Cuarta parte

Responda solo a uno de los dos ejercicios (A4 o B4).

Dibujar el recinto limitado por las parábolas y=4x−x2y = 4x - x^2 e y=x2−6y = x^2 - 6 y calcular su área.
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Ejercicio 4 · Opción B

4Opción B
2,5 puntos
Cuarta parte

Responda solo a uno de los dos ejercicios (A4 o B4).

Calcular ∫xln⁡(x+1) dx\int x \ln(x + 1) \, dx, explicando el método utilizado.
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Ejercicio 5 · Opción A

5Opción A
2,5 puntos
Quinta parte

Responda solo a uno de los dos ejercicios (A5 o B5).

De los 700 estudiantes que tiene un centro escolar se sabe que 500 proceden del barrio donde está ubicado el centro, 575 utilizan el servicio de comedor y 400 son del barrio y utilizan el servicio de comedor. Se escoge un estudiante al azar.
a
Si es del barrio, ¿cuál es la probabilidad de que use el servicio de comedor?0,5 pts
b
Si usa el servicio de comedor, ¿cuál es la probabilidad de que no proceda del barrio?0,5 pts
c
¿Cuál es la probabilidad de que sea del barrio o use el servicio de comedor?1 pt
d
¿Cuál es la probabilidad de que no sea del barrio ni utilice el servicio de comedor?0,5 pts
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Ejercicio 5 · Opción B

5Opción B
2,5 puntos
Quinta parte

Responda solo a uno de los dos ejercicios (A5 o B5).

La estatura de los individuos de una población sigue una distribución normal de media 1,741{,}74 cm y desviación típica 0,050{,}05 cm. Se elige un individuo al azar.
a
¿Cuál es la probabilidad de que tenga una estatura igual o inferior a la media?0,5 pts
b
¿Cuál es la probabilidad que su estatura esté comprendida entre 1,641{,}64 y 1,841{,}84 cm?1 pt
c
Si la población está compuesta por 1500 individuos, ¿Cuántos tienen una estatura inferior a 1,541{,}54 cm?1 pt
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