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la cuevadel empollón
Matemáticas IIPaís VascoPAU 2021Extraordinaria

Matemáticas II · País Vasco 2021

10 ejercicios90 min de duración

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
2,5 puntos
PRIMERA PARTE

Responda solo a uno de los dos ejercicios (A1 o B1).

Discutir el sistema de ecuaciones lineales que sigue, en función del parámetro α\alpha: {αx+2y−z=α2x+αy+z=2+αx−αy+2z=2α\begin{cases} \alpha x + 2y - z = \alpha \\ 2x + \alpha y + z = 2 + \alpha \\ x - \alpha y + 2z = 2\alpha \end{cases} Resolver el sistema para α=1\alpha = 1, si es posible.
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Ejercicio 1 · Opción B

1Opción B
2,5 puntos
PRIMERA PARTE

Responda solo a uno de los dos ejercicios (A1 o B1).

Sean A=(10−21),B=(2021),C=(2201)A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}, \quad C = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} Calcular la matriz XX de orden 2×22 \times 2 que verifica A2⋅X+B=CA^2 \cdot X + B = C
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Ejercicio 2 · Opción A

2Opción A
2,5 puntos
SEGUNDA PARTE

Responda solo a uno de los dos ejercicios (A2 o B2).

Sea rr la recta de ecuaciones paramétricas {x=t,y=2+2t,z=1+3t}\{x = t, y = 2 + 2t, z = 1 + 3t \} y sean A=(1,2,3)A = (1, 2, 3) y B=(3,2,1)B = (3, 2, 1). Encontrar la ecuación del plano paralelo a la recta rr y que pasa por los puntos AA y BB. Calcular la distancia de la recta rr a ese plano.
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Ejercicio 2 · Opción B

2Opción B
2,5 puntos
SEGUNDA PARTE

Responda solo a uno de los dos ejercicios (A2 o B2).

Sean los puntos A=(0,2,1)A = (0, 2, 1), B=(1,b,0)B = (1, b, 0), C=(−1,0,2)C = (-1, 0, 2) y D=(1,1,1)D = (1, 1, 1).
a)1,25 pts
Calcular el valor de bb para que AA, BB, CC y DD estén en el mismo plano.
b)1,25 pts
El plano que contiene a los puntos AA, BB, CC y DD es perpendicular al segmento PQPQ y lo divide en dos partes iguales. Si P=(1,2,−3)P = (1, 2, -3), calcular las coordenadas de QQ.
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Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
2,5 puntos
TERCERA PARTE

Responda solo a uno de los dos ejercicios (A3 o B3).

Estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función f(x)=x−4x2−4f(x) = \frac{x - 4}{x^2 - 4} y calcular sus máximos y sus mínimos.
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Ejercicio 3 · Opción B

3Opción B
2,5 puntos
TERCERA PARTE

Responda solo a uno de los dos ejercicios (A3 o B3).

Sea f(x)=x4+Ax2+Bx+Cf(x) = x^4 + Ax^2 + Bx + C. Obtener los valores de AA, BB y CC para que en el punto de abscisa x=0x = 0 la recta tangente a la gráfica de ff sea y=2x−1y = 2x - 1 y en el punto de abscisa x=1x = 1 la recta tangente a la gráfica de ff sea horizontal. El extremo situado en el punto de abscisa x=1x = 1, ¿es máximo o mínimo?
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Ejercicio 4 · Opción A

4Opción A
2,5 puntos
CUARTA PARTE

Responda solo a uno de los dos ejercicios (A4 o B4).

Dibujar el recinto limitado por las parábolas y=4x−x2y = 4x - x^2 e y=x2−6y = x^2 - 6 y calcular su área.
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Ejercicio 4 · Opción B

4Opción B
2,5 puntos
CUARTA PARTE

Responda solo a uno de los dos ejercicios (A4 o B4).

Calcular ∫xln⁡(x+1) dx\int x \ln(x + 1) \, dx, explicando el método utilizado.
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Ejercicio 5 · Opción A

5Opción A
2,5 puntos
QUINTA PARTE

Responda solo a uno de los dos ejercicios (A5 o B5).

De los 700 estudiantes que tiene un centro escolar se sabe que 500 proceden del barrio donde está ubicado el centro, 575 utilizan el servicio de comedor y 400 son del barrio y utilizan el servicio de comedor. Se escoge un estudiante al azar.
a)0,5 pts
Si es del barrio, ¿cuál es la probabilidad de que use el servicio de comedor?
b)0,5 pts
Si usa el servicio de comedor, ¿cuál es la probabilidad de que no proceda del barrio?
c)1 pts
¿Cuál es la probabilidad de que sea del barrio o use el servicio de comedor?
d)0,5 pts
¿Cuál es la probabilidad de que no sea del barrio ni utilice el servicio de comedor?
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Ejercicio 5 · Opción B

5Opción B
2,5 puntos
QUINTA PARTE

Responda solo a uno de los dos ejercicios (A5 o B5).

La estatura de los individuos de una población sigue una distribución normal de media 1,741{,}74 cm y desviación típica 0,050{,}05 cm. Se elige un individuo al azar.
a)0,5 pts
¿Cuál es la probabilidad de que tenga una estatura igual o inferior a la media?
b)1 pts
¿Cuál es la probabilidad que su estatura esté comprendida entre 1,641{,}64 y 1,841{,}84 cm?
c)1 pts
Si la población está compuesta por 1500 individuos, ¿Cuántos tienen una estatura inferior a 1,541{,}54 cm?
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