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la cuevadel empollón
Matemáticas IIAsturiasPAU 2014Extraordinaria

Matemáticas II · Asturias 2014

4 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
a) Duración: 1 hora y 30 minutos. La puntuación de cada pregunta está indicada en la misma. b) Tiene que elegir entre realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción A o realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción B. c) Conteste de forma razonada y escriba ordenadamente y con letra clara. d) Todos los procesos que conducen a resultados deben estar suficientemente justificados y completamente explicados.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Considere el sistema{ax−ay+z=23x+2y−2z=a−ax+3y−z=2\begin{cases} ax - ay + z = 2 \\ 3x + 2y - 2z = a \\ -ax + 3y - z = 2 \end{cases}
a
Estudie su compatibilidad según los distintos valores del número real aa.1,5 pts
b
Resuélvalo, si es posible, en el caso a=1a = 1.1 pt
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Considere las rectas r1:{x−z=22x−y=1r_1: \begin{cases} x - z = 2 \\ 2x - y = 1 \end{cases} y r2:{x+y=12y−z=−1r_2: \begin{cases} x + y = 1 \\ 2y - z = -1 \end{cases}
a
Estudie la posición relativa de r1r_1 y r2r_2.0,75 pts
b
Encuentre, si es posible, un plano paralelo a r1r_1 que contenga a r2r_2.1 pt
c
Encuentre la distancia entre r1r_1 y r2r_2.0,75 pts
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Considere la función y=x3−3x2+1y = x^3 - 3x^2 + 1.
a
Determine la recta tangente en el punto en que la función alcanza su máximo relativo.1 pt
b
Dibuje el recinto limitado por la curva y la recta tangente anterior.0,5 pts
c
Halle el área del recinto del apartado b).1 pt
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Calcule lim⁡x→2(x2)1x−2\lim_{x \to 2} \left( \frac{x}{2} \right)^{\frac{1}{x - 2}}
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Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Considere la matriz A=(11−110202−1)A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \end{pmatrix}
a
Halle el determinante de la matriz AA.0,75 pts
b
Halle el determinante de la matriz 3A3A.0,75 pts
c
Halle el determinante de la matriz (3A)3(3A)^3.1 pt
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Busque el área del polígono de vértices A(4,7,8)A(4,7,8), B(2,3,4)B(2,3,4), C(−1,−2,1)C(-1,-2,1) y D(1,2,5)D(1,2,5).
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Considere la función f(x)=x3+3x2−4x2f(x) = \frac{x^3 + 3x^2 - 4}{x^2}
a
Halle los intervalos de crecimiento y decrecimiento y sus extremos relativos.1 pt
b
Determine sus asíntotas.1 pt
c
Dibuje la gráfica de y=f(x)y = f(x).0,5 pts
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Obtenga el área del recinto cerrado por las curvas y=1+cos⁡xy = 1 + \cos x e y=0y = 0 en el intervalo [−π,π][-\pi, \pi].
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