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la cuevadel empollón
Matemáticas IIAsturiasPAU 2014Extraordinaria

Matemáticas II · Asturias 2014

8 ejercicios90 min de duración

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
2,5 puntos
Considere el sistema {ax−ay+z=23x+2y−2z=a−ax+3y−z=2\begin{cases} ax - ay + z = 2 \\ 3x + 2y - 2z = a \\ -ax + 3y - z = 2 \end{cases}
a)1,5 pts
Estudie su compatibilidad según los distintos valores del número real aa.
b)1 pts
Resuélvalo, si es posible, en el caso a=1a = 1.
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Ejercicio 1 · Opción B

1Opción B
2,5 puntos
Considere la matriz A=(11−110202−1)A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \end{pmatrix}
a)0,75 pts
Halle el determinante de la matriz AA.
b)0,75 pts
Halle el determinante de la matriz 3A3A.
c)1 pts
Halle el determinante de la matriz (3A)3(3A)^3.
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Ejercicio 2 · Opción A

2Opción A
2,5 puntos
Considere las rectas r1:{x−z=22x−y=1r_1: \begin{cases} x - z = 2 \\ 2x - y = 1 \end{cases} y r2:{x+y=12y−z=−1r_2: \begin{cases} x + y = 1 \\ 2y - z = -1 \end{cases}
a)0,75 pts
Estudie la posición relativa de r1r_1 y r2r_2.
b)1 pts
Encuentre, si es posible, un plano paralelo a r1r_1 que contenga a r2r_2.
c)0,75 pts
Encuentre la distancia entre r1r_1 y r2r_2.
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Ejercicio 2 · Opción B

2Opción B
2,5 puntos
Busque el área del polígono de vértices A(4,7,8)A(4,7,8), B(2,3,4)B(2,3,4), C(−1,−2,1)C(-1,-2,1) y D(1,2,5)D(1,2,5).
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Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
2,5 puntos
Considere la función y=x3−3x2+1y = x^3 - 3x^2 + 1.
a)1 pts
Determine la recta tangente en el punto en que la función alcanza su máximo relativo.
b)0,5 pts
Dibuje el recinto limitado por la curva y la recta tangente anterior.
c)1 pts
Halle el área del recinto del apartado b).
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Ejercicio 3 · Opción B

3Opción B
2,5 puntos
Considere la función f(x)=x3+3x2−4x2f(x) = \frac{x^3 + 3x^2 - 4}{x^2}
a)1 pts
Halle los intervalos de crecimiento y decrecimiento y sus extremos relativos.
b)1 pts
Determine sus asíntotas.
c)0,5 pts
Dibuje la gráfica de y=f(x)y = f(x).
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Ejercicio 4 · Opción A

4Opción A
2,5 puntos
Calcule lim⁡x→2(x2)1x−2\lim_{x \to 2} \left( \frac{x}{2} \right)^{\frac{1}{x - 2}}
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Ejercicio 4 · Opción B

4Opción B
2,5 puntos
Obtenga el área del recinto cerrado por las curvas y=1+cos⁡xy = 1 + \cos x e y=0y = 0 en el intervalo [−π,π][-\pi, \pi].
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