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la cuevadel empollón
Matemáticas CCSSAndalucíaPAU 2015Variante 2

Matemáticas CCSS · Andalucía 2015

4 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
a) Duración: 1 hora y 30 minutos. b) Elija una de las dos opciones propuestas y conteste los ejercicios de la opción elegida. c) En cada ejercicio, parte o apartado se indica la puntuación máxima que le corresponde. d) Se permitirá el uso de calculadoras que no sean programables, gráficas ni con capacidad para almacenar o transmitir datos. e) Si obtiene resultados directamente con la calculadora, explique con detalle los pasos necesarios para su obtención sin su ayuda. Justifique las respuestas.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Sean las matrices A=(1−1201−1102)A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 0 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & 2 \end{pmatrix}, B=(1211−20)B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 1 & -2 & 0 \end{pmatrix}, C=(21)C = \begin{pmatrix} 2 & 1 \end{pmatrix}, D=(1−12)D = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 \end{pmatrix}.
a
Estudie cuáles de los siguientes productos de matrices se pueden realizar, indicando las dimensiones de la matriz resultante: A⋅BtA \cdot B^t, Ct⋅DC^t \cdot D, Bt⋅DB^t \cdot D, D⋅BtD \cdot B^t.0,8 pts
b
Despeje la matriz XX en la ecuación X⋅A−1+2B=3Ct⋅DX \cdot A^{-1} + 2B = 3C^t \cdot D, sin calcular sus elementos.0,5 pts
c
Calcule la matriz A⋅(Bt−2Dt⋅C)A \cdot (B^t - 2D^t \cdot C).1,2 pts
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
La mosca común solamente vive si la temperatura media de su entorno está comprendida entre 4∘C4^\circ\text{C} y 36∘C36^\circ\text{C}. La vida en días, en función de la temperatura media TT, medida en grados centígrados, viene dada por la función:V(T)=−116(T2−40T+16),T∈[4,36]V(T) = \frac{-1}{16}(T^2 - 40T + 16), \quad T \in [4, 36]
a
Determine la vida máxima que puede alcanzar la mosca común.1 pt
b
Calcule la vida mínima e indique la temperatura media a la que se alcanza.1 pt
c
Si sabemos que una mosca ha vivido 15 días, ¿a qué temperatura media ha estado el entorno donde ha habitado?0,5 pts
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
El 70% de los clientes de un supermercado realizan las compras en el local y el resto de los clientes las realizan por internet. De las compras realizadas en el local, sólo el 30% supera los 100 €, mientras que de las realizadas por internet el 80% supera esa cantidad.
a
Elegida una compra al azar, ¿cuál es la probabilidad de que supere los 100 €?1,5 pts
b
Si se sabe que una compra supera los 100 €, ¿cuál es la probabilidad de que se haya hecho en el local?1 pt
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Una característica poblacional XX sigue una distribución Normal N(μ,2,1)N(\mu, 2{,}1). Sobre ella se formula un contraste de hipótesis bilateral con H0:μ=5,5H_0: \mu = 5{,}5 a un nivel de significación del 8%. Se extrae una muestra aleatoria simple de tamaño 25 que proporciona una media muestral de 6{,}3. Plantee dicho contraste, determine su región crítica y razone si se puede aceptar la hipótesis nula.
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Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Un supermercado tiene almacenados 600 kg de manzanas y 400 kg de naranjas. Para incentivar su venta elabora dos tipos de bolsas: A y B. Las bolsas de tipo A contienen 3 kg de manzanas y 1 kg de naranjas; las bolsas de tipo B incluyen 2 kg de cada uno de los productos. El precio de venta de la bolsa A es de 4 € y de 3 € el de la bolsa de tipo B. Suponiendo que vende todas las bolsas preparadas, ¿cuántas bolsas de cada tipo debe haber elaborado para maximizar los ingresos? ¿A cuánto asciende el ingreso máximo?
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Calcule la derivada de cada una de las siguientes funciones:
a
f(x)=2⋅(1−3x)21+3xf(x) = \frac{2 \cdot (1 - 3x)^2}{1 + 3x}0,9 pts
b
g(x)=(x2−x+1)⋅e5xg(x) = (x^2 - x + 1) \cdot e^{5x}0,8 pts
c
h(x)=log⁡(x2+x+1)h(x) = \log(x^2 + x + 1)0,8 pts
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Sean dos sucesos AA y BB tales que P(A)=0,25P(A) = 0{,}25, P(B)=0,6P(B) = 0{,}6, P(A∩Bc)=0,1P(A \cap B^c) = 0{,}1.
a
Calcule la probabilidad de que ocurra AA y ocurra BB.0,75 pts
b
Calcule la probabilidad de que no ocurra AA pero sí ocurra BB.0,75 pts
c
Calcule la probabilidad de que ocurra AA sabiendo que ha ocurrido BB.0,5 pts
d
¿Son independientes AA y BB?0,5 pts
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Se ha lanzado un dado 400 veces, y en 72 de ellas ha salido un tres.
a
Calcule un intervalo de confianza, al 99{,}2%, para la proporción de veces que se obtiene un tres.2 pts
b
Calcule el error máximo admisible cometido con ese intervalo.0,5 pts
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