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la cuevadel empollón
Matemáticas IINavarraPAU 2012Ordinaria

Matemáticas II · Navarra 2012

4 ejercicios

Instrucciones

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Ejercicio 1

1
3 puntos
Estudia el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real aa y resuélvelo en los casos en que es compatible:{(a2+a−2)x−2ay+az=−1(a2+a−2)x+a2y+(a+1)z=0(a2+a−2)x−2ay+a2z=3a−1\begin{cases} (a^2 + a - 2)x - 2ay + az = -1 \\ (a^2 + a - 2)x + a^2y + (a + 1)z = 0 \\ (a^2 + a - 2)x - 2ay + a^2z = 3a - 1 \end{cases}
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Ejercicio 2

2
2 puntos
Los puntos P≡(0,−1,3)P \equiv (0, -1, 3), Q≡(3,0,1)Q \equiv (3, 0, 1) y R≡(2,3,3)R \equiv (2, 3, 3) son tres vértices de un rombo. Encuentra el cuarto vértice.
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Calcula las siguientes integrales indefinidas:
a
∫(2x+1)e−xdx\int (2x + 1) e^{-x} dx1 pt
b
∫−4dxx2+2x−3\int \frac{-4 dx}{x^2 + 2x - 3}1 pt
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Ejercicio 4

4
3 puntos
Dada la funciónf(x)=2sen⁡(π2x2)2xcos⁡(πx2)x2−4x+113f(x) = \frac{2 \sen \left(\frac{\pi}{2} x^2\right)}{2^x \cos(\pi x^2) \sqrt[3]{x^2 - 4x + 11}}demuestra que existe un valor α∈(1,3)\alpha \in (1, 3) tal que f′(α)=3f'(\alpha) = 3. Menciona los resultados teóricos empleados y justifica su uso.
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Ejercicio 1

1
2 puntos
Encuentra los valores de t∈Rt \in \mathbb{R} para los que la matrizA=(t12t+1t+111−t0t−1)A = \begin{pmatrix} t & 1 & 2 \\ t + 1 & t + 1 & 1 \\ 1 - t & 0 & t - 1 \end{pmatrix}no es regular.
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Ejercicio 2

2
3 puntos
Encuentra la ecuación continua de la recta que pasa por el punto P≡(0,−2,1)P \equiv (0, -2, 1) y corta a las rectasr≡{2x+y−z+2=0x−y−z+1=0ys≡x+11=y+40=z+12r \equiv \begin{cases} 2x + y - z + 2 = 0 \\ x - y - z + 1 = 0 \end{cases} \quad \text{y} \quad s \equiv \frac{x + 1}{1} = \frac{y + 4}{0} = \frac{z + 1}{2}
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Demuestra que la derivada de la funciónf(x)=xsen⁡xf(x) = x^{\sen x}se anula en algún punto del intervalo abierto (π2,π)\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right). Menciona los resultados teóricos empleados y justifica su uso.
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Ejercicio 4

4
3 puntos
Dadas las funciones f(x)=5−x2f(x) = 5 - x^2 y g(x)=4x2g(x) = \frac{4}{x^2}, calcula el área de la región del plano encerrada entre las gráficas de f(x)f(x) y g(x)g(x).
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