Matemáticas II · Navarra 2012

Estudia el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real $a$ y resuélvelo en los casos en que es compatible: $$\begin{cases} (a^2 + a - 2)x - 2ay + az = -1 \\ (a^2 + a - 2)x + a^2y + (a + 1)z = 0 \\ (a^2 + a - 2)x - 2ay + a^2z = 3a - 1 \end{cases}$$

Encuentra los valores de $t \in \mathbb{R}$ para los que la matriz $$A = \begin{pmatrix} t & 1 & 2 \\ t + 1 & t + 1 & 1 \\ 1 - t & 0 & t - 1 \end{pmatrix}$$ no es regular.

Los puntos $P \equiv (0, -1, 3)$, $Q \equiv (3, 0, 1)$ y $R \equiv (2, 3, 3)$ son tres vértices de un rombo. Encuentra el cuarto vértice.

Encuentra la ecuación continua de la recta que pasa por el punto $P \equiv (0, -2, 1)$ y corta a las rectas $$r \equiv \begin{cases} 2x + y - z + 2 = 0 \\ x - y - z + 1 = 0 \end{cases} \quad \text{y} \quad s \equiv \frac{x + 1}{1} = \frac{y + 4}{0} = \frac{z + 1}{2}$$

Calcula las siguientes integrales indefinidas:

Demuestra que la derivada de la función $$f(x) = x^{\sen x}$$ se anula en algún punto del intervalo abierto $\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)$. Menciona los resultados teóricos empleados y justifica su uso.

Dada la función $$f(x) = \frac{2 \sen \left(\frac{\pi}{2} x^2\right)}{2^x \cos(\pi x^2) \sqrt[3]{x^2 - 4x + 11}}$$ demuestra que existe un valor $\alpha \in (1, 3)$ tal que $f'(\alpha) = 3$. Menciona los resultados teóricos empleados y justifica su uso.

Dadas las funciones $f(x) = 5 - x^2$ y $g(x) = \frac{4}{x^2}$, calcula el área de la región del plano encerrada entre las gráficas de $f(x)$ y $g(x)$.