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la cuevadel empollón
Matemáticas IINavarraPAU 2011Extraordinaria

Matemáticas II · Navarra 2011

4 ejercicios

Instrucciones

Realizar una de las dos opciones propuestas (A o B)
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Ejercicio 1

1
3 puntos
Estudia el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real aa y resuélvelo en los casos en que es compatible:{y+3z=1(a2−a−2)x−y−3z=−1(a2−a−2)x+(a2−2a)z=2−a\begin{cases} y + 3z = 1 \\ (a^2 - a - 2)x - y - 3z = -1 \\ (a^2 - a - 2)x + (a^2 - 2a)z = 2 - a \end{cases}
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Ejercicio 2

2
2 puntos
Encuentra la ecuación general del plano π\pi que contiene a la rectar≡{3x+3y−2z−2=0x−y−2z=0r \equiv \begin{cases} 3x + 3y - 2z - 2 = 0 \\ x - y - 2z = 0 \end{cases}y es paralelo a la rectas≡x+21=y−12=z−22s \equiv \frac{x + 2}{1} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z - 2}{2}
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Dada la funciónf(x)=xx2−4x+7f(x) = x^{\sqrt{x^2 - 4x + 7}}demuestra que existe un valor α∈(1,3)\alpha \in (1, 3) tal que f′(α)=4f'(\alpha) = 4. Menciona los resultados teóricos empleados y justifica su uso.
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Ejercicio 4

4
3 puntos
Encuentra los dos puntos en que se cortan las gráficas de las funciones f(x)=x2−1f(x) = x^2 - 1 y g(x)=cos⁡(π2x)g(x) = \cos(\frac{\pi}{2}x). Calcula el área de la región del plano encerrada entre las gráficas de f(x)f(x) y g(x)g(x).
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Ejercicio 1

1
2 puntos
Dadas la matricesA=(1110−12002)yB=(20011012−1)A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} \quad \text{y} \quad B = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & -1 \end{pmatrix}calcula ∣AB∣|AB| y ∣BA∣|BA|.
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Ejercicio 2

2
3 puntos
Encuentra la ecuación continua de la recta rr que corta perpendicularmente a la rectas≡{2x+y−z−2=0x+2y+z−4=0s \equiv \begin{cases} 2x + y - z - 2 = 0 \\ x + 2y + z - 4 = 0 \end{cases}sabiendo además que cada punto de rr equidista de los puntos P≡(−2,1,3)P \equiv (-2, 1, 3) y Q≡(0,−1,1)Q \equiv (0, -1, 1).
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Halla las integrales indefinidas:
a
∫dxx+x\int \frac{dx}{x + \sqrt{x}}1 pt
b
∫x2sen⁡(2x)dx\int x^2 \sen(2x) dx1 pt
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Ejercicio 4

4
3 puntos
Calcula el máximo y el mínimo absolutos, en el intervalo {−1,2}\{-1, 2\}, de la función f(x)=ln⁡(x2+x+1)−xf(x) = \ln(x^2 + x + 1) - x. Menciona el resultado teórico empleado y justifica su uso.
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