Matemáticas II · Navarra 2011

Estudia el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real $a$ y resuélvelo en los casos en que es compatible: $$\begin{cases} y + 3z = 1 \\ (a^2 - a - 2)x - y - 3z = -1 \\ (a^2 - a - 2)x + (a^2 - 2a)z = 2 - a \end{cases}$$

Dadas la matrices $$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} \quad \text{y} \quad B = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & -1 \end{pmatrix}$$ calcula $|AB|$ y $|BA|$.

Encuentra la ecuación general del plano $\pi$ que contiene a la recta $$r \equiv \begin{cases} 3x + 3y - 2z - 2 = 0 \\ x - y - 2z = 0 \end{cases}$$ y es paralelo a la recta $$s \equiv \frac{x + 2}{1} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z - 2}{2}$$

Encuentra la ecuación continua de la recta $r$ que corta perpendicularmente a la recta $$s \equiv \begin{cases} 2x + y - z - 2 = 0 \\ x + 2y + z - 4 = 0 \end{cases}$$ sabiendo además que cada punto de $r$ equidista de los puntos $P \equiv (-2, 1, 3)$ y $Q \equiv (0, -1, 1)$.

Dada la función $$f(x) = x^{\sqrt{x^2 - 4x + 7}}$$ demuestra que existe un valor $\alpha \in (1, 3)$ tal que $f'(\alpha) = 4$. Menciona los resultados teóricos empleados y justifica su uso.

Halla las integrales indefinidas:

Encuentra los dos puntos en que se cortan las gráficas de las funciones $f(x) = x^2 - 1$ y $g(x) = \cos(\frac{\pi}{2}x)$. Calcula el área de la región del plano encerrada entre las gráficas de $f(x)$ y $g(x)$.

Calcula el máximo y el mínimo absolutos, en el intervalo $\{-1, 2\}$, de la función $f(x) = \ln(x^2 + x + 1) - x$. Menciona el resultado teórico empleado y justifica su uso.