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la cuevadel empollón
Matemáticas IILa RiojaPAU 2019Extraordinaria

Matemáticas II · La Rioja 2019

4 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
El examen incluye tabla N(0,1) como anexo. El alumno contestará a los ejercicios de una de las dos propuestas (A o B) que se le ofrecen. Nunca deberá contestar a ejercicios de una propuesta y a ejercicios distintos de la otra. Es necesario justificar las respuestas. Se permite el uso de calculadoras científicas siempre que no sean programables ni gráficas ni calculen integrales. Si algún alumno es sorprendido con una calculadora no autorizada, podrá ser expulsado del examen; en todo caso, se le retirará la calculadora sin que tenga derecho a que le proporcionen otra. Tiempo: Una hora y media.
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Ejercicio 1

1
2 puntos
Sea {e1,e2,e3}\{e_1, e_2, e_3\} una base de R3\mathbb{R}^3, de modo que los vectores son unitarios y forman entre sí ángulos de 60∘60^\circ. Dados los vectores u=e1+e2u = e_1 + e_2 y v=e1−e2+e3v = e_1 - e_2 + e_3:
a
Calcula el módulo de los vectores uu y vv.
b
Calcula el coseno del ángulo formado por los vectores uu y vv.
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Ejercicio 2

2
2 puntos
El peso medio según la OMS de un niño de 5 años sigue una distribución normal de media 18,5 kg18{,}5\,\text{kg} y desviación típica 2,25 kg2{,}25\,\text{kg}. Si se elige un niño al azar, halla el porcentaje de niños:
a
cuyo peso es superior a 23 kg23\,\text{kg}.
b
cuyo peso está entre 1515 y 23 kg23\,\text{kg}.
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Ejercicio 3

3
3 puntos
Sea la función f(x)=∣x∣x2−1f(x) = \frac{|x|}{x^2 - 1}
a
Analiza la continuidad y derivabilidad de la función ff. Razona si se puede aplicar el teorema de Rolle en el intervalo [−12,12][-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]. En caso afirmativo, calcula el valor c∈(−12,12)c \in (-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) a que se refiere el teorema de Rolle.
b
Halla el área encerrada por ff y el eje de abscisas en el intervalo [3,4][3, 4].
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Ejercicio 4

4
3 puntos
Sea aa un parámetro real cualquiera. Considera la matriz: A=(1000a00−a2a−1)A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & a & 0 \\ 0 & -a & 2a - 1 \end{pmatrix}
a
Determina para qué valores del parámetro aa existe la inversa de la matriz AA. Halla la inversa de la matriz AA, cuando exista.
b
Para a=1a = 1 y las matrices B=(3152),C=(123−12−3),D=(312000)B = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 5 & 2 \end{pmatrix}, \quad C = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ -1 & 2 & -3 \end{pmatrix}, \quad D = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} resuelve el sistema {BXA=Y13Y+C=D\begin{cases} BXA = Y \\ \frac{1}{3}Y + C = D \end{cases}
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Ejercicio 1

1
2 puntos
En un colegio se han ofertado para los niños de infantil tres actividades extraescolares Inglés (ING), Multideporte (MUL) y Robótica (ROB), con dos rangos de edad de 3 a 4 años (MP) y de 5 a 6 años (MG). Se sabe que se han apuntado a alguna actividad un total de 300 niños. De ellos, hay 100 que tienen entre 3 y 4 años, de los cuales 82 hacen Inglés y 10 han elegido Multideporte. Se sabe que al grupo de Robótica se han apuntado 83 niños, y hay 105 niños de entre 5 y 6 años que se han apuntado a Inglés.
a
Toma un niño al azar, halla las siguientes probabilidades: P(MG)P(MG), P(MUL)P(MUL), P(MP∩ROB)P(MP \cap ROB), P(ROB∣MP)P(ROB|MP) y P(MG∣ING)P(MG|ING).
b
Comprueba que el suceso MULMUL es independiente de la edad del niño.
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Ejercicio 2

2
2 puntos
Dos vértices consecutivos de un rectángulo son P=(2,2,1)P = (2, 2, 1) y Q=(0,0,−1)Q = (0, 0, -1) y los otros dos pertenecen a una recta rr que pasa por el punto A=(5,4,3)A = (5, 4, 3).
a
Determina la ecuación de la recta rr.
b
Determina la ecuación del plano que contiene al rectángulo.
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Ejercicio 3

3
3 puntos
Sea la función f(x)=∣x∣x2−1f(x) = \frac{|x|}{x^2 - 1}
a
Analiza la continuidad y derivabilidad de la función ff. Razona si se puede aplicar el teorema de Rolle en el intervalo [−12,12][-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]. En caso afirmativo, calcula el valor c∈(−12,12)c \in (-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) a que se refiere el teorema de Rolle.
b
Halla el área encerrada por ff y el eje de abscisas en el intervalo [3,4][3, 4].
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Ejercicio 4

4
3 puntos
Sea aa un parámetro real cualquiera. Considera la matriz: A=(1000a00−a2a−1)A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & a & 0 \\ 0 & -a & 2a - 1 \end{pmatrix}
a
Determina para qué valores del parámetro aa existe la inversa de la matriz AA. Halla la inversa de la matriz AA, cuando exista.
b
Para a=1a = 1 y las matrices B=(3152),C=(123−12−3),D=(312000)B = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 5 & 2 \end{pmatrix}, \quad C = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ -1 & 2 & -3 \end{pmatrix}, \quad D = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} resuelve el sistema {BXA=Y13Y+C=D\begin{cases} BXA = Y \\ \frac{1}{3}Y + C = D \end{cases}
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