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la cuevadel empollón
Matemáticas IILa RiojaPAU 2019Extraordinaria

Matemáticas II · La Rioja 2019

8 ejercicios90 min de duración

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
2 puntos
Sea {e1,e2,e3}\{e_1, e_2, e_3\} una base de R3\mathbb{R}^3, de modo que los vectores son unitarios y forman entre sí ángulos de 60∘60^\circ. Dados los vectores u=e1+e2u = e_1 + e_2 y v=e1−e2+e3v = e_1 - e_2 + e_3:
a)
Calcula el módulo de los vectores uu y vv.
b)
Calcula el coseno del ángulo formado por los vectores uu y vv.
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Ejercicio 1 · Opción B

1Opción B
2 puntos
En un colegio se han ofertado para los niños de infantil tres actividades extraescolares Inglés (ING), Multideporte (MUL) y Robótica (ROB), con dos rangos de edad de 3 a 4 años (MP) y de 5 a 6 años (MG). Se sabe que se han apuntado a alguna actividad un total de 300 niños. De ellos, hay 100 que tienen entre 3 y 4 años, de los cuales 82 hacen Inglés y 10 han elegido Multideporte. Se sabe que al grupo de Robótica se han apuntado 83 niños, y hay 105 niños de entre 5 y 6 años que se han apuntado a Inglés.
a)
Toma un niño al azar, halla las siguientes probabilidades: P(MG)P(MG), P(MUL)P(MUL), P(MP∩ROB)P(MP \cap ROB), P(ROB∣MP)P(ROB|MP) y P(MG∣ING)P(MG|ING).
b)
Comprueba que el suceso MULMUL es independiente de la edad del niño.
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Ejercicio 2 · Opción A

2Opción A
2 puntos
El peso medio según la OMS de un niño de 5 años sigue una distribución normal de media 18,5 kg18{,}5\,\text{kg} y desviación típica 2,25 kg2{,}25\,\text{kg}. Si se elige un niño al azar, halla el porcentaje de niños:
a)
cuyo peso es superior a 23 kg23\,\text{kg}.
b)
cuyo peso está entre 1515 y 23 kg23\,\text{kg}.
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Ejercicio 2 · Opción B

2Opción B
2 puntos
Dos vértices consecutivos de un rectángulo son P=(2,2,1)P = (2, 2, 1) y Q=(0,0,−1)Q = (0, 0, -1) y los otros dos pertenecen a una recta rr que pasa por el punto A=(5,4,3)A = (5, 4, 3).
a)
Determina la ecuación de la recta rr.
b)
Determina la ecuación del plano que contiene al rectángulo.
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Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
3 puntos
Sea la función f(x)=∣x∣x2−1f(x) = \frac{|x|}{x^2 - 1}
a)
Analiza la continuidad y derivabilidad de la función ff. Razona si se puede aplicar el teorema de Rolle en el intervalo [−12,12][-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]. En caso afirmativo, calcula el valor c∈(−12,12)c \in (-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) a que se refiere el teorema de Rolle.
b)
Halla el área encerrada por ff y el eje de abscisas en el intervalo [3,4][3, 4].
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Ejercicio 3 · Opción B

3Opción B
3 puntos
Sea la función f(x)=∣x∣x2−1f(x) = \frac{|x|}{x^2 - 1}
a)
Analiza la continuidad y derivabilidad de la función ff. Razona si se puede aplicar el teorema de Rolle en el intervalo [−12,12][-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]. En caso afirmativo, calcula el valor c∈(−12,12)c \in (-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) a que se refiere el teorema de Rolle.
b)
Halla el área encerrada por ff y el eje de abscisas en el intervalo [3,4][3, 4].
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Ejercicio 4 · Opción A

4Opción A
3 puntos
Sea aa un parámetro real cualquiera. Considera la matriz: A=(1000a00−a2a−1)A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & a & 0 \\ 0 & -a & 2a - 1 \end{pmatrix}
a)
Determina para qué valores del parámetro aa existe la inversa de la matriz AA. Halla la inversa de la matriz AA, cuando exista.
b)
Para a=1a = 1 y las matrices B=(3152),C=(123−12−3),D=(312000)B = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 5 & 2 \end{pmatrix}, \quad C = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ -1 & 2 & -3 \end{pmatrix}, \quad D = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} resuelve el sistema {BXA=Y13Y+C=D\begin{cases} BXA = Y \\ \frac{1}{3}Y + C = D \end{cases}
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Ejercicio 4 · Opción B

4Opción B
3 puntos
Sea aa un parámetro real cualquiera. Considera la matriz: A=(1000a00−a2a−1)A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & a & 0 \\ 0 & -a & 2a - 1 \end{pmatrix}
a)
Determina para qué valores del parámetro aa existe la inversa de la matriz AA. Halla la inversa de la matriz AA, cuando exista.
b)
Para a=1a = 1 y las matrices B=(3152),C=(123−12−3),D=(312000)B = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 5 & 2 \end{pmatrix}, \quad C = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ -1 & 2 & -3 \end{pmatrix}, \quad D = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} resuelve el sistema {BXA=Y13Y+C=D\begin{cases} BXA = Y \\ \frac{1}{3}Y + C = D \end{cases}
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