Matemáticas CCSS · Castilla y León 2019

Un comerciante dispone de $350000$ € para comprar dos modelos de lámparas. El modelo A tiene un coste de $150$ € y produce, por cada unidad que se vende, un beneficio de $15$ €. El modelo B tiene un coste de $100$ € y produce, por cada unidad que se vende, un beneficio de $11$ €. Por experiencia sabe que sólo puede almacenar $3000$ lámparas como máximo y que puede vender como máximo $2000$ lámparas del modelo A. Determina, utilizando técnicas de programación lineal, cuántas lámparas de cada modelo debe comprar para maximizar el beneficio conseguido en las ventas. Calcula ese beneficio máximo.

Se considera el sistema de ecuaciones: $$\begin{cases} x + y - (1 - a^2) z = 0 \\ 2x + 4y + 6z = 0 \\ 2x + 5y + z = 0 \end{cases}$$ Calcula razonadamente los valores del parámetro $a$ para que el sistema tenga soluciones distintas de la solución trivial $(0, 0, 0)$.

Representa gráficamente la función $y = -ax^3 - bx + c$, sabiendo que pasa por el origen de coordenadas y que tiene un mínimo relativo en el punto $(x, y) = (1, -1)$. Justifica brevemente la representación gráfica obtenida.

Un alumno asiste a una clase que dura $60$ minutos. Se estima que la capacidad de atención de un alumno en cada instante de tiempo $t$ viene dada por la función $f(t) = -2t^2 + 120t + 5$, con $t \in [0, 60]$.

Una multinacional farmacéutica elabora un test para la detección precoz de la enfermedad producida por el virus del Ébola. El test da positivo en el $86\%$ de las personas que son portadoras del virus y da negativo en el $92\%$ de las personas que no son portadoras del virus. Además, en una cierta zona geográfica el $2\%$ de la población es portadora del virus. Se elige al azar una persona de esa zona geográfica y se la somete al test. Calcula razonadamente la probabilidad de que sea portadora del virus sabiendo que el test ha dado positivo.

Se sabe que el tiempo de resolución de los exámenes propuestos por un profesor universitario sigue una distribución normal de media $74$ minutos.

Supongamos que tenemos una moneda de $2$ euros trucada de manera que la probabilidad de que al lanzarla al aire salga cara es el triple de que salga cruz. Calcula razonadamente la probabilidad de que al lanzarla una vez al aire salga cruz.

Se consideran dos sucesos independientes $A$ y $B$. Si la probabilidad de que ocurra $A$ es $\frac{1}{2}$ y la probabilidad de que ocurran ambos a la vez es $\frac{1}{3}$, calcula la probabilidad de que no ocurra $A$ y no ocurra $B$.