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la cuevadel empollón
Matemáticas IIAndalucíaPAU 2016OrdinariaReserva A

Matemáticas II · Andalucía 2016

4 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
a) Duración: 1 hora y 30 minutos. b) Tienes que elegir entre realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción A o realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción B. c) La puntuación de cada pregunta está indicada en la misma. d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara. e) Se permitirá el uso de calculadoras que no sean programables, gráficas ni con capacidad para almacenar o transmitir datos. No obstante, todos los procesos conducentes a la obtención de resultados deben estar suficientemente justificados.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Sea f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R} la función definida por f(x)=(eax+b)xf(x) = (e^{ax} + b)x, con a≠0a \neq 0. Calcula aa y bb sabiendo que ff tiene un extremo relativo en x=0x = 0 y su gráfica, un punto de inflexión en el punto cuya abscisa es x=1x = 1.
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Calcula el valor de a>0a > 0 para el que se verifica ∫0ax2+x2dx=1\int_{0}^{a} \frac{x}{2 + x^2} dx = 1.
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Considera el sistema de ecuaciones dado en forma matricial mediante AX=BAX = B siendoA=(112−1m+2m11m+2),B=(1−mm7)yX=(xyz). A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ -1 & m + 2 & m \\ 1 & 1 & m + 2 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} 1 - m \\ m \\ 7 \end{pmatrix} \quad \text{y} \quad X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}.
a
Discute el sistema según los valores de mm.1,5 pts
b
Resuelve el sistema para m=−3m = -3 y determina en dicho caso, si existe, una solución en la que x=2x = 2.1 pt
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Considera el plano π\pi de ecuación x+2y+z=1x + 2y + z = 1.
a
Halla el punto de π\pi más próximo al punto (3,1,2)(3, 1, 2).1 pt
b
Determina la ecuación de un plano paralelo a π\pi que forme con los ejes de coordenadas un triángulo de área 6\sqrt{6}.1,5 pts
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Ejercicio 1

1
2,5 puntos
De un terreno se desea vender un solar rectangular de 12 800 m212\,800\,\text{m}^2 dividido en 3 parcelas iguales como las que aparecen en el dibujo. Se quieren vallar las lindes de las tres parcelas (los bordes y las separaciones de las parcelas). Determina las dimensiones del solar y de cada una de las tres parcelas para que la longitud de la valla utilizada sea mínima.
Rectángulo dividido verticalmente en tres parcelas iguales mediante dos líneas interiores.
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Considera la función f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R} dada por f(x)=−x2+mxf(x) = -x^2 + mx siendo m>0m > 0. Esboza el recinto limitado por la gráfica de ff y la recta y=−mxy = -mx y calcula el valor de mm para que el área de dicho recinto sea 36.
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
De los datos recabados en un informe sobre los beneficios obtenidos por las empresas A, B y C el pasado año, se desprende lo siguiente: • la empresa B obtiene el mismo beneficio que las empresas A y C juntas. • el beneficio de la empresa A es la media aritmética del de las otras dos.
a
Determina si se puede hallar el beneficio de cada empresa sabiendo que A ha obtenido el doble que C.1,5 pts
b
Calcula el beneficio de cada empresa sabiendo que entre las tres han obtenido 210 millones de euros.1 pt
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Sea rr la recta que pasa por los puntos A(1,1,0)A(1, 1, 0) y B(3,−1,1)B(3, -1, 1) y ss la recta dada por{x+2y=−1y+z=−1 \begin{cases} x + 2y = -1 \\ y + z = -1 \end{cases}
a
Halla la ecuación general del plano que pasa por el origen de coordenadas y es paralelo a las rectas dadas.1,25 pts
b
Halla unas ecuaciones paramétricas del plano que pasa por BB y es perpendicular a ss.1,25 pts
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