Saltar al contenido
la cuevadel empollón
Matemáticas IICanariasPAU 2015Extraordinaria

Matemáticas II · Canarias 2015

4 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
Elija una de las opciones, A o B, y conteste a las cuatro cuestiones que componen la opción elegida. Si mezcla preguntas de las dos opciones el tribunal podrá anular su examen. • En el desarrollo de cada problema, detalle y explique los procedimientos empleados para solucionarlo. Se califica todo. La duración del examen será de 90 minutos. No olvide pegar las etiquetas antes de entregar el examen.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Se considera la funciónf(x)={x2+b−2si x≤−22−x2si −2<x<2x2ln⁡(x2−a)si 2≤xf(x) = \begin{cases} \sqrt{x^2 + b} - 2 & \text{si } x \leq -\sqrt{2} \\ 2 - x^2 & \text{si } -\sqrt{2} < x < \sqrt{2} \\ x^2 \ln(x^2 - a) & \text{si } \sqrt{2} \leq x \end{cases}donde ln⁡\ln denota el logaritmo neperiano. Determinar si existen valores de los parámetros aa y bb para los que f(x)f(x) sea derivable en todo R\mathbb{R}. Justificar la respuesta.
Ver este ejercicio

Ejercicio 2

2
2,5 puntos
a
Dibujar las gráficas aproximadas de f(x)=x2+2x+1f(x) = x^2 + 2x + 1 y g(x)=3x+3g(x) = 3x + 3, señalando los puntos de corte.1 pt
b
Calcular el área encerrada entre las gráficas de las dos funciones del apartado a).1,5 pts
Ver este ejercicio

Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Sean las matrices I=(1001)I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} y A=(12−12)A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}. Hallar dos números reales nn y mm para que se verifique que (I+A)2=nI+mA(I + A)^2 = nI + mA.
Ver este ejercicio

Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Dadas las rectas r≡{x+y+z−3=02x−y+z−2=0r \equiv \begin{cases} x + y + z - 3 = 0 \\ 2x - y + z - 2 = 0 \end{cases} y s≡x−12=y−1=z−13s \equiv \frac{x - 1}{2} = y - 1 = \frac{z - 1}{3} se pide:
a
Determinar su posición relativa.1,25 pts
b
Calcular el ángulo que forman ambas rectas.1,25 pts
Ver este ejercicio

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Calcular los siguientes límites:
a
lim⁡x→12(x2−x)xln⁡x\lim_{x \to 1} \frac{2(x^2 - x)}{x \ln x}
b
lim⁡x→+∞(x2+x−x)\lim_{x \to +\infty} (\sqrt{x^2 + x} - x)
c
lim⁡x→2(x+22x)3x−2\lim_{x \to 2} (\frac{x + 2}{2x})^{\frac{3}{x - 2}}
Ver este ejercicio

Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Un granjero dispone de 200 metros de valla para delimitar dos corrales adyacentes rectangulares de igual tamaño según se muestra en la figura. ¿Qué dimensiones debe elegir para que el área encerrada en los corrales sea máxima?
Diagrama de dos corrales rectangulares adyacentes con dimensiones x e y.
Ver este ejercicio

Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Estudiar, para los distintos valores del parámetro aa, el siguiente sistema de ecuaciones. Resolverlo cuando a=1a = 1.{ax−y+3z=ax−ay+z=−aax+y−3z=a\begin{cases} ax - y + 3z = a \\ x - ay + z = -a \\ ax + y - 3z = a \end{cases}
Ver este ejercicio

Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Dados los planos π1:x+y+z=3\pi_1: x + y + z = 3 y π2:x+y−mz=0\pi_2: x + y - mz = 0 se pide:
a
Calcular el valor del parámetro mm para que ambos planos sean paralelos.0,75 pts
b
Calcular el valor de mm para que ambos planos sean perpendiculares.0,75 pts
c
Para m=2m = 2, obtener las ecuaciones paramétricas de la recta intersección de ambos planos.1 pt
Ver este ejercicio