Matemáticas II · Canarias 2015

Se considera la función $$f(x) = \begin{cases} \sqrt{x^2 + b} - 2 & \text{si } x \leq -\sqrt{2} \\ 2 - x^2 & \text{si } -\sqrt{2} < x < \sqrt{2} \\ x^2 \ln(x^2 - a) & \text{si } \sqrt{2} \leq x \end{cases}$$ donde $\ln$ denota el logaritmo neperiano. Determinar si existen valores de los parámetros $a$ y $b$ para los que $f(x)$ sea derivable en todo $\mathbb{R}$. Justificar la respuesta.

Calcular los siguientes límites:

Un granjero dispone de 200 metros de valla para delimitar dos corrales adyacentes rectangulares de igual tamaño según se muestra en la figura. ¿Qué dimensiones debe elegir para que el área encerrada en los corrales sea máxima?

Sean las matrices $I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ y $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$. Hallar dos números reales $n$ y $m$ para que se verifique que $(I + A)^2 = nI + mA$.

Estudiar, para los distintos valores del parámetro $a$, el siguiente sistema de ecuaciones. Resolverlo cuando $a = 1$. $$\begin{cases} ax - y + 3z = a \\ x - ay + z = -a \\ ax + y - 3z = a \end{cases}$$

Dadas las rectas $r \equiv \begin{cases} x + y + z - 3 = 0 \\ 2x - y + z - 2 = 0 \end{cases}$ y $s \equiv \frac{x - 1}{2} = y - 1 = \frac{z - 1}{3}$ se pide:

Dados los planos $\pi_1: x + y + z = 3$ y $\pi_2: x + y - mz = 0$ se pide: