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la cuevadel empollón
Matemáticas IICanariasPAU 2022Ordinaria

Matemáticas II · Canarias 2022

8 ejercicios

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
2,5 puntos
Bloque 1.- Análisis

Seleccione solo una pregunta del bloque.

Dada la función: f(x)={(x−1)2+bxsi x<1a+ln⁡(x)si x≥1f(x) = \begin{cases} (x - 1)^2 + bx & \text{si } x < 1 \\ a + \ln(x) & \text{si } x \geq 1 \end{cases}
a)1,5 pts
Estudia los valores de los parámetros aa y bb para que la función f(x)f(x) sea continua y derivable en R\mathbb{R}. Escribe la función resultante f(x)f(x).
b)1 pts
Tomando los valores a=−2a = -2 y b=1b = 1, calcula la ecuación de la recta tangente a f(x)f(x) en x=ex = e.
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Ejercicio 1 · Opción B

1Opción B
2,5 puntos
Bloque 1.- Análisis

Seleccione solo una pregunta del bloque.

Realiza el cálculo de las siguientes integrales:
a)1,25 pts
∫x+4x2+4 dx\int \frac{x + 4}{x^2 + 4} \, dx
b)1,25 pts
∫1e(ln⁡x)3x dx\int_{1}^{e} \frac{(\ln x)^3}{x} \, dx
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Ejercicio 2 · Opción A

2Opción A
2,5 puntos
Bloque 2.- Álgebra

Seleccione solo una pregunta del bloque.

Averigua qué dos matrices de dimensiones 3×33 \times 3, XX e YY, verifican las siguientes condiciones: La suma de ambas matrices XX e YY da como resultado la matriz I3I_3 (siendo I3I_3 la matriz identidad 3×33 \times 3). Siendo A=(90−714−1200−7−5)A = \begin{pmatrix} 9 & 0 & -7 \\ 14 & -12 & 0 \\ 0 & -7 & -5 \end{pmatrix}, la matriz traspuesta de AA es el resultado de realizar la resta del doble de la matriz XX y cinco veces la matriz YY.
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Ejercicio 2 · Opción B

2Opción B
2,5 puntos
Bloque 2.- Álgebra

Seleccione solo una pregunta del bloque.

Dado el siguiente sistema de ecuaciones con un parámetro kk: {kx−y−z=1x+ky+2kz=kx+y+z=−1\begin{cases} kx - y - z = 1 \\ x + ky + 2kz = k \\ x + y + z = -1 \end{cases}
a)1,5 pts
Discute la resolución del sistema de ecuaciones, según los valores que pueda tomar el parámetro kk.
b)1 pts
Resuelve el sistema para k=1k = 1.
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Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
2,5 puntos
Bloque 3.- Geometría

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En el espacio tridimensional conocemos las ecuaciones de las rectas siguientes: r≡{3x−2y=−14y−3z=−1s≡{x+4y+12=06y+z+13=0r \equiv \begin{cases} 3x - 2y = -1 \\ 4y - 3z = -1 \end{cases} \quad s \equiv \begin{cases} x + 4y + 12 = 0 \\ 6y + z + 13 = 0 \end{cases}
a)1,25 pts
Estudia la posición relativa de las rectas rr y ss.
b)1,25 pts
Calcula la ecuación del plano π\pi paralelo a la recta ss que contiene a la recta rr. Halla el punto de corte de dicho plano π\pi con la recta: t≡x+4−1=y−83=z−2t \equiv \frac{x + 4}{-1} = \frac{y - 8}{3} = z - 2.
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Ejercicio 3 · Opción B

3Opción B
2,5 puntos
Bloque 3.- Geometría

Seleccione solo una pregunta del bloque.

En el espacio tridimensional conocemos las ecuaciones siguientes: π≡{x=1+t+4sy=1+sz=3−2t−5s;r1≡x+45=y+56=z−10;r2≡{4x+3y=7y+4z=5\pi \equiv \begin{cases} x = 1 + t + 4s \\ y = 1 + s \\ z = 3 - 2t - 5s \end{cases}; \quad r_1 \equiv \frac{x + 4}{5} = \frac{y + 5}{6} = \frac{z - 1}{0}; \quad r_2 \equiv \begin{cases} 4x + 3y = 7 \\ y + 4z = 5 \end{cases}
a)1,25 pts
Calcula la ecuación de la recta rr, perpendicular al plano π\pi que contiene el punto de intersección de las rectas r1r_1 y r2r_2.
b)1,25 pts
¿Es cierto que el ángulo entre las rectas r1r_1 y r2r_2 es menor de 45∘45^{\circ}? Justifícalo.
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Ejercicio 4 · Opción A

4Opción A
2,5 puntos
Bloque 4.- Probabilidad

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Tenemos una caja con bolas de madera y de plástico de distintos colores, pero con el mismo tamaño y aspecto. Contamos con la siguiente información de su contenido: El 38% son bolas azules y, de este color, la mitad son de madera. El 29% son bolas rojas y, de este color, las tres cuartas partes son de madera. El 33% son bolas verdes y, de este color, dos tercios son de madera. Extraemos una bola de la caja. Responde a las siguientes preguntas:
a)0,5 pts
Construye el árbol de probabilidades.
b)1 pts
Calcula la probabilidad de que, al sacar una bola al azar de la caja, esta sea de madera.
c)1 pts
Si la bola extraída de la caja es de plástico, ¿qué probabilidad hay de que sea de color rojo?
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Ejercicio 4 · Opción B

4Opción B
2,5 puntos
Bloque 4.- Probabilidad

Seleccione solo una pregunta del bloque.

El número de ventas diarias de periódicos en un quiosco se distribuye como una distribución normal de media 30 periódicos y desviación típica 2\sqrt{2}. Determina:
Gráfico de la función de densidad de la distribución normal estándar con el área sombreada representando $F(x) = P(Z \leq x)$.
Gráfico de la función de densidad de la distribución normal estándar con el área sombreada representando $F(x) = P(Z \leq x)$.
a)
La probabilidad de que en un día se vendan entre 28 y 31 periódicos.
b)
Justifica si es cierto que la probabilidad de vender más de 32 periódicos es menor que 0,10{,}1.
c)
El dueño del quiosco considera que su puesto está situado en una buena zona, ya que sabe que hay más de un 80% de posibilidades de vender más de 29 periódicos diarios. ¿Está en lo cierto? Justifícalo.
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