Saltar al contenido
la cuevadel empollón
Matemáticas IICanariasPAU 2022Ordinaria

Matemáticas II · Canarias 2022

8 ejercicios

Instrucciones

El examen incluye tabla N(0,1) como anexo. Configure su examen con cuatro preguntas seleccionadas entre las parejas 1A-1B, 2A-2B, 3A-3B y 4A-4B, correspondientes a cada uno de los bloques de contenido. En caso de presentar dos preguntas de un mismo bloque de contenido, se considerará sólo la primera pregunta respondida de ese bloque. En el desarrollo de cada pregunta, detalle y explique los procedimientos empleados para solucionarla. Se califica todo el proceso. - Se puede utilizar cualquier calculadora científica no programable ni con conexión a Internet.

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
2,5 puntos
Bloque 1Análisis

Seleccione solo una pregunta del bloque.

Dada la función:f(x)={(x−1)2+bxsi x<1a+ln⁡(x)si x≥1f(x) = \begin{cases} (x - 1)^2 + bx & \text{si } x < 1 \\ a + \ln(x) & \text{si } x \geq 1 \end{cases}
a
Estudia los valores de los parámetros aa y bb para que la función f(x)f(x) sea continua y derivable en R\mathbb{R}. Escribe la función resultante f(x)f(x).1,5 pts
b
Tomando los valores a=−2a = -2 y b=1b = 1, calcula la ecuación de la recta tangente a f(x)f(x) en x=ex = e.1 pt
Ver este ejercicio

Ejercicio 1 · Opción B

1Opción B
2,5 puntos
Bloque 1Análisis

Seleccione solo una pregunta del bloque.

Realiza el cálculo de las siguientes integrales:
a
∫x+4x2+4 dx\int \frac{x + 4}{x^2 + 4} \, dx1,25 pts
b
∫1e(ln⁡x)3x dx\int_{1}^{e} \frac{(\ln x)^3}{x} \, dx1,25 pts
Ver este ejercicio

Ejercicio 2 · Opción A

2Opción A
2,5 puntos
Bloque 2Álgebra

Seleccione solo una pregunta del bloque.

Averigua qué dos matrices de dimensiones 3×33 \times 3, XX e YY, verifican las siguientes condiciones: La suma de ambas matrices XX e YY da como resultado la matriz I3I_3 (siendo I3I_3 la matriz identidad 3×33 \times 3). Siendo A=(90−714−1200−7−5)A = \begin{pmatrix} 9 & 0 & -7 \\ 14 & -12 & 0 \\ 0 & -7 & -5 \end{pmatrix}, la matriz traspuesta de AA es el resultado de realizar la resta del doble de la matriz XX y cinco veces la matriz YY.
Ver este ejercicio

Ejercicio 2 · Opción B

2Opción B
2,5 puntos
Bloque 2Álgebra

Seleccione solo una pregunta del bloque.

Dado el siguiente sistema de ecuaciones con un parámetro kk:{kx−y−z=1x+ky+2kz=kx+y+z=−1\begin{cases} kx - y - z = 1 \\ x + ky + 2kz = k \\ x + y + z = -1 \end{cases}
a
Discute la resolución del sistema de ecuaciones, según los valores que pueda tomar el parámetro kk.1,5 pts
b
Resuelve el sistema para k=1k = 1.1 pt
Ver este ejercicio

Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
2,5 puntos
Bloque 3Geometría

Seleccione solo una pregunta del bloque.

En el espacio tridimensional conocemos las ecuaciones de las rectas siguientes:r≡{3x−2y=−14y−3z=−1s≡{x+4y+12=06y+z+13=0r \equiv \begin{cases} 3x - 2y = -1 \\ 4y - 3z = -1 \end{cases} \quad s \equiv \begin{cases} x + 4y + 12 = 0 \\ 6y + z + 13 = 0 \end{cases}
a
Estudia la posición relativa de las rectas rr y ss.1,25 pts
b
Calcula la ecuación del plano π\pi paralelo a la recta ss que contiene a la recta rr. Halla el punto de corte de dicho plano π\pi con la recta: t≡x+4−1=y−83=z−2t \equiv \frac{x + 4}{-1} = \frac{y - 8}{3} = z - 2.1,25 pts
Ver este ejercicio

Ejercicio 3 · Opción B

3Opción B
2,5 puntos
Bloque 3Geometría

Seleccione solo una pregunta del bloque.

En el espacio tridimensional conocemos las ecuaciones siguientes:π≡{x=1+t+4sy=1+sz=3−2t−5s;r1≡x+45=y+56=z−10;r2≡{4x+3y=7y+4z=5\pi \equiv \begin{cases} x = 1 + t + 4s \\ y = 1 + s \\ z = 3 - 2t - 5s \end{cases}; \quad r_1 \equiv \frac{x + 4}{5} = \frac{y + 5}{6} = \frac{z - 1}{0}; \quad r_2 \equiv \begin{cases} 4x + 3y = 7 \\ y + 4z = 5 \end{cases}
a
Calcula la ecuación de la recta rr, perpendicular al plano π\pi que contiene el punto de intersección de las rectas r1r_1 y r2r_2.1,25 pts
b
¿Es cierto que el ángulo entre las rectas r1r_1 y r2r_2 es menor de 45∘45^{\circ}? Justifícalo.1,25 pts
Ver este ejercicio

Ejercicio 4 · Opción A

4Opción A
2,5 puntos
Bloque 4Probabilidad

Seleccione solo una pregunta del bloque.

Tenemos una caja con bolas de madera y de plástico de distintos colores, pero con el mismo tamaño y aspecto. Contamos con la siguiente información de su contenido: El 38% son bolas azules y, de este color, la mitad son de madera. El 29% son bolas rojas y, de este color, las tres cuartas partes son de madera. El 33% son bolas verdes y, de este color, dos tercios son de madera. Extraemos una bola de la caja. Responde a las siguientes preguntas:
a
Construye el árbol de probabilidades.0,5 pts
b
Calcula la probabilidad de que, al sacar una bola al azar de la caja, esta sea de madera.1 pt
c
Si la bola extraída de la caja es de plástico, ¿qué probabilidad hay de que sea de color rojo?1 pt
Ver este ejercicio

Ejercicio 4 · Opción B

4Opción B
2,5 puntos
Bloque 4Probabilidad

Seleccione solo una pregunta del bloque.

El número de ventas diarias de periódicos en un quiosco se distribuye como una distribución normal de media 30 periódicos y desviación típica 2\sqrt{2}. Determina:
Datos
  • Distribución normal con μ=30\mu = 30 y σ=2\sigma = \sqrt{2}
Gráfico de la función de densidad de la distribución normal estándar con el área sombreada representando $F(x) = P(Z \leq x)$.
a
La probabilidad de que en un día se vendan entre 28 y 31 periódicos.
b
Justifica si es cierto que la probabilidad de vender más de 32 periódicos es menor que 0,10{,}1.
c
El dueño del quiosco considera que su puesto está situado en una buena zona, ya que sabe que hay más de un 80% de posibilidades de vender más de 29 periódicos diarios. ¿Está en lo cierto? Justifícalo.
Ver este ejercicio