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la cuevadel empollón
Matemáticas IIAndalucíaPAU 2013OrdinariaTitular

Matemáticas II · Andalucía 2013

4 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
a) Duración: 1 hora y 30 minutos. b) Tienes que elegir entre realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción A o realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción B. c) La puntuación de cada pregunta está indicada en la misma. d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara. e) Se permitirá el uso de calculadoras que no sean programables, gráficas ni con capacidad para almacenar o transmitir datos. No obstante, todos los procesos conducentes a la obtención de resultados deben estar suficientemente justificados.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Sabiendo que lim⁡x→0xcos⁡(x)+bsen⁡(x)x3\lim_{x \to 0} \frac{x \cos(x) + b \operatorname{sen}(x)}{x^3} es finito, calcula bb y el valor del límite.
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Sean f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R} y g:R→Rg: \mathbb{R} \to \mathbb{R} las funciones definidas mediantef(x)=∣x(x−2)∣yg(x)=x+4f(x) = |x(x - 2)| \quad \text{y} \quad g(x) = x + 4
a
Esboza las gráficas de ff y gg sobre los mismos ejes. Calcula los puntos de corte entre ambas gráficas.1,25 pts
b
Calcula el área del recinto limitado por las gráficas de ff y gg.1,25 pts
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Sea M=(10−10m+1011m−1)M = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & m + 1 & 0 \\ 1 & 1 & m - 1 \end{pmatrix}
a
Determina los valores de mm para los que los vectores fila de MM son linealmente independientes.0,75 pts
b
Estudia el rango de MM según los valores de mm.1 pt
c
Para m=1m = 1, calcula la inversa de MM.0,75 pts
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Sea rr la recta que pasa por el punto (1,0,0)(1, 0, 0) y tiene como vector dirección (a,2a,1)(a, 2a, 1) y sea ss la recta dada por{−2x+y=−2−ax+z=0\begin{cases} -2x + y = -2 \\ -ax + z = 0 \end{cases}
a
Calcula los valores de aa para los que rr y ss son paralelas.1 pt
b
Calcula, para a=1a = 1, la distancia entre rr y ss.1,5 pts
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Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Sea f:(−∞,1)→Rf: (-\infty, 1) \to \mathbb{R} la función definida por f(x)={x+2e−xsi x≤0ab−xsi 0<x<1f(x) = \begin{cases} x + 2e^{-x} & \text{si } x \leq 0 \\ a\sqrt{b - x} & \text{si } 0 < x < 1 \end{cases}
a
Determina aa y bb sabiendo que ff es derivable en todo su dominio.1,5 pts
b
Halla la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica de ff en el punto de abscisa x=0x = 0.1 pt
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Sea g:R→Rg: \mathbb{R} \to \mathbb{R} la función definida por g(x)=ln⁡(x2+1)g(x) = \ln(x^2 + 1) (donde ln⁡\ln denota el logaritmo neperiano). Calcula la primitiva de gg cuya gráfica pasa por el origen de coordenadas.
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Sea A=(111−1)A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}
a
Comprueba que A2=2IA^2 = 2I y calcula A−1A^{-1}.1,5 pts
b
Calcula A2013A^{2013} y su inversa.1 pt
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Considera los puntos P(2,3,1)P(2, 3, 1) y Q(0,1,1)Q(0, 1, 1).
a
Halla la ecuación del plano π\pi respecto del cual PP y QQ son simétricos.1,75 pts
b
Calcula la distancia de PP a π\pi.0,75 pts
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