Matemáticas CCSS · Cataluña 2015

Un árbol tiene un volumen de $30\,\text{m}^3$ y, por la calidad de su madera, se vende a $50$ € por metro cúbico. Cada año el árbol aumenta el volumen en $5\,\text{m}^3$. Al mismo tiempo, la calidad de la madera del árbol disminuye, y también el precio, que cada año es un euro por metro cúbico más barato. ¿Dentro de cuántos años conseguiremos el máximo de ingresos por la venta de la madera del árbol? ¿Cuáles serán estos ingresos?

El pasado mes de enero, Joan, Carla y Laura invirtieron en bolsa. Carla invirtió el doble que Laura. Aquel mes, Joan y Carla tuvieron unas ganancias del $30\%$, mientras que Laura tuvo unas pérdidas del $10\%$. Como resultado de esto, obtuvieron conjuntamente unas ganancias del $20\%$. Acordaron volver a invertir en febrero, incrementando cada uno un $10\%$ sus inversiones iniciales. Si el mes de febrero invirtieron entre los tres $770$ €, ¿qué cantidad había invertido cada uno el mes de enero?

Al resolver un sistema lineal de tres ecuaciones con tres incógnitas, $x$, $y$ y $z$, hemos encontrado que las soluciones cumplen las condiciones siguientes: — La suma de las soluciones es $6$. — La segunda es la media aritmética de las otras dos. — El valor de la tercera es la suma de los valores de las otras dos. Escriba el sistema de ecuaciones que satisface las condiciones anteriores, resuélvalo e indique si es compatible determinado o indeterminado.

La función derivada de una función $f$ es $f'(x) = (x - 5) \cdot e^{-2x}$.

Considere la función $f(x) = \frac{2x + 2}{x^2 - x + 2}$.

El precio, expresado en miles de euros, del rubí africano es el doble del cuadrado de su peso en gramos, mientras que el precio del rubí tailandés es cuatro veces el cubo de su peso en gramos. Nos han enviado un paquete con dos rubíes, uno de cada clase, que en total pesan $2$ gramos.

Sean las matrices $A = \begin{pmatrix} 1 & a \\ 2 & -a \end{pmatrix}$ y $B = \begin{pmatrix} b & c \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$.

Dadas las matrices $A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ y $B = \begin{pmatrix} -3 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$, calcule la matriz $X$ que cumple $X \cdot A + B^2 = 2 \cdot I_2$, donde $I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ es la matriz identidad de orden 2.

La función derivada de una función $f$ es $f'(x) = e^{-2x} \cdot (x - x^2)$.

La gráfica adjunta muestra la función $f'$, derivada de una función $f$.

Una refinería de petróleo produce gasolina y gasóleo. En el proceso de refinación que se lleva a cabo se obtiene más gasolina que gasóleo. Además, para cubrir la demanda hay que producir como mínimo $3$ millones de litros de gasóleo al día, mientras que la demanda de gasolina es de $6{,}4$ millones de litros al día, como máximo. La gasolina tiene un precio de $1{,}9$ €/L, y el gasóleo vale $1{,}5$ €/L. Teniendo en cuenta que se vende la totalidad de la producción, determine cuántos litros de gasolina y de gasóleo hay que producir al día para obtener el máximo de ingresos.

Considere el triángulo de vértices $A(-2, 0)$, $B(0, 3)$ y $C(2, -1)$.