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la cuevadel empollón
Matemáticas IICantabriaPAU 2019Extraordinaria

Matemáticas II · Cantabria 2019

4 ejercicios

Instrucciones

El examen incluye tabla N(0,1) como anexo. 1. Debe escogerse una sola de las opciones. 2. Debe exponerse con claridad el planteamiento de la respuesta o el método utilizado para su resolución. Todas las respuestas deben ser razonadas. 3. Entre corchetes se indica la puntuación máxima de cada apartado. 4. No se permite el uso de calculadoras gráficas ni programables. Tampoco está permitido el uso de dispositivos con acceso a Internet.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Considere el sistema de ecuaciones: {a2x+ay+z=−1ax+ay+a2z=0\begin{cases} a^2x + ay + z = -1 \\ ax + ay + a^2z = 0 \end{cases}
1
Clasifique, en función del parámetro aa, el sistema anterior (existencia y unicidad de soluciones).1,25 pts
2
Calcule todas las soluciones en el caso a=2a = 2.1,25 pts
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Ejercicio 2

2
3 puntos
Considere la función f(x)=x+4x2−7x−8f(x) = \frac{x + 4}{x^2 - 7x - 8}.
1
Estudie el dominio, asíntotas, intervalos de crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos relativos de la función ff.2,75 pts
2
Si gg es una función derivable con un máximo relativo en x=2x = 2, ¿Cuánto vale g′(2)g'(2)?0,25 pts
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Sea el plano Π≡(2,1,0)+t(2,1,0)⃗+s(0,1,−1)⃗\Pi \equiv (2, 1, 0) + t \vec{(2, 1, 0)} + s \vec{(0, 1, -1)} y el punto A=(2,1,3)A = (2, 1, 3).
1
Calcule la distancia entre AA y Π\Pi.1,5 pts
2
Calcule la recta ortogonal (perpendicular) a Π\Pi que contiene al punto AA.1 pt
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Ejercicio 4

4
2 puntos
Las temperaturas de una ciudad durante el verano han seguido una distribución normal de media 30∘30^{\circ} y desviación típica de 6∘6^{\circ}.
1
Calcule la probabilidad de que un día al azar se mida una temperatura de menos de 42∘42^{\circ}.1 pt
2
Calcule la probabilidad de que un día al azar haga entre 25∘25^{\circ} y 30∘30^{\circ}.1 pt
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Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Consideremos el sistema dependiente del parámetro tt:{tx+y−z=02ty+z=1−x+ty+2z=1\begin{cases} tx + y - z = 0 \\ 2ty + z = 1 \\ -x + ty + 2z = 1 \end{cases}
1
Determine razonadamente si el sistema es incompatible o compatible, determinado o indeterminado en función del valor del parámetro tt.1,5 pts
2
Calcule todas las soluciones del sistema en el caso t=1t = 1.1 pt
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Ejercicio 2

2
3 puntos
Sea f(x)f(x) la función definida en (0,∞)(0, \infty) dada por f(x)=xln⁡(x)f(x) = x \ln(x), donde ln⁡\ln denota el logaritmo neperiano.
1
Calcule lim⁡x→0+f(x)\lim_{x \to 0^+} f(x).1 pt
2
Calcule ∫2ef(x)dx\int_{2}^{e} f(x) dx.2 pts
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Sean los puntos P=(0,1,0)P = (0, 1, 0), Q=(−1,1,2)Q = (-1, 1, 2), R=(2,0,−1)R = (2, 0, -1) y el plano Π≡{x=2+4ty=−5t+sz=−1+4s\Pi \equiv \begin{cases} x = 2 + 4t \\ y = -5t + s \\ z = -1 + 4s \end{cases}
1
Calcule el ángulo formado por el plano que contiene a P,QP, Q y RR y el plano Π\Pi.2,25 pts
2
Calcule la distancia entre PP y QQ.0,25 pts
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Ejercicio 4

4
2 puntos
Una empresa de teléfonos tiene tres cadenas de producción para un modelo de teléfono. Cada cadena fabrica, respectivamente un 40%40\%, 35%35\% y 25%25\% de la producción total. La probabilidad de que un teléfono sea defectuoso es del 5%5\%, 3%3\% y 2%2\% respectivamente. Se toma un teléfono al azar.
1
¿Cuál es la probabilidad de que el teléfono sea defectuoso?1 pt
2
Si el teléfono es defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que se haya fabricado en la segunda cadena?1 pt
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