Matemáticas II · Andalucía 2014

Sabiendo que $\lim_{x \to 0} \frac{\cos(3x) - e^x + ax}{x \operatorname{sen}(x)}$ es finito, calcula $a$ y el valor del límite.

De entre todos los números reales positivos, determina el que sumado con su inverso da suma mínima.

Calcula $$\int_{0}^{1} \frac{x^2}{2x^2 - 2x - 4} dx$$

Calcula $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{x}{\cos^2 x} dx$. (Sugerencia: integración por partes).

Considera el siguiente sistema de ecuaciones $$\begin{cases} x - y + mz = 0 \\ mx + 2y + z = 0 \\ -x + y + 2mz = 0 \end{cases}$$

Sabiendo que el determinante de la matriz $A = \begin{pmatrix} x & y & z \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}$ es $2$, calcula los siguientes determinantes indicando, en cada caso, las propiedades que utilices:

Considera los puntos $A(1, 1, 2)$ y $B(1, -1, -2)$ y la recta $r$ dada por $\begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = t \\ z = 1 \end{cases}$

Sea $r$ la recta que pasa por los puntos $A(1, 0, -1)$ y $B(2, -1, 3)$.