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la cuevadel empollón
Matemáticas IIAndalucíaPAU 2014Extraordinaria

Matemáticas II · Andalucía 2014

4 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
a) Duración: 1 hora y 30 minutos. b) Tienes que elegir entre realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción A o realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción B. c) La puntuación de cada pregunta está indicada en la misma. d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara. e) Se permitirá el uso de calculadoras que no sean programables, gráficas ni con capacidad para almacenar o transmitir datos. No obstante, todos los procesos conducentes a la obtención de resultados deben estar suficientemente justificados.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Sabiendo que lim⁡x→0cos⁡(3x)−ex+axxsen⁡(x)\lim_{x \to 0} \frac{\cos(3x) - e^x + ax}{x \operatorname{sen}(x)} es finito, calcula aa y el valor del límite.
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Calcula∫01x22x2−2x−4dx\int_{0}^{1} \frac{x^2}{2x^2 - 2x - 4} dx
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Considera el siguiente sistema de ecuaciones{x−y+mz=0mx+2y+z=0−x+y+2mz=0\begin{cases} x - y + mz = 0 \\ mx + 2y + z = 0 \\ -x + y + 2mz = 0 \end{cases}
a
Halla los valores del parámetro mm para los que el sistema tiene una única solución.0,75 pts
b
Halla los valores del parámetro mm para los que el sistema tiene alguna solución distinta de la solución nula.1 pt
c
Resuelve el sistema para m=−2m = -2.0,75 pts
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Considera los puntos A(1,1,2)A(1, 1, 2) y B(1,−1,−2)B(1, -1, -2) y la recta rr dada por {x=1+2ty=tz=1\begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = t \\ z = 1 \end{cases}
a
Halla la ecuación general del plano que contiene a rr y es paralelo a la recta que pasa por AA y por BB.1 pt
b
Halla el punto de la recta rr que está a la misma distancia de AA y de BB.1,5 pts
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Ejercicio 1

1
2,5 puntos
De entre todos los números reales positivos, determina el que sumado con su inverso da suma mínima.
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Calcula ∫0π4xcos⁡2xdx\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{x}{\cos^2 x} dx. (Sugerencia: integración por partes).
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Sabiendo que el determinante de la matriz A=(xyz101123)A = \begin{pmatrix} x & y & z \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} es 22, calcula los siguientes determinantes indicando, en cada caso, las propiedades que utilices:
a
det⁡(3A)\det(3A)0,5 pts
b
det⁡(A−1)\det(A^{-1})0,5 pts
c
∣3013x2yz343∣\begin{vmatrix} 3 & 0 & 1 \\ 3x & 2y & z \\ 3 & 4 & 3 \end{vmatrix}0,75 pts
d
∣123x+2y+4z+6−10−1∣\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ x + 2 & y + 4 & z + 6 \\ -1 & 0 & -1 \end{vmatrix}0,75 pts
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Sea rr la recta que pasa por los puntos A(1,0,−1)A(1, 0, -1) y B(2,−1,3)B(2, -1, 3).
a
Calcula la distancia del origen de coordenadas a la recta rr.1,25 pts
b
Halla la ecuación de la recta que corta perpendicularmente a rr y pasa por el origen de coordenadas.1,25 pts
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