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la cuevadel empollón
Matemáticas IIAsturiasPAU 2014Ordinaria

Matemáticas II · Asturias 2014

4 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
a) Duración: 1 hora y 30 minutos. La puntuación de cada pregunta está indicada en la misma. b) Tiene que elegir entre realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción A o realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción B. c) Conteste de forma razonada y escriba ordenadamente y con letra clara. d) Todos los procesos que conducen a resultados deben estar suficientemente justificados y completamente explicados.
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Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Considere el sistema{(3a+5)x+7y+12z=0(2a+3)x+3y+6z=0(3a+4)x+2y+6z=0\begin{cases} (3a + 5)x + 7y + 12z = 0 \\ (2a + 3)x + 3y + 6z = 0 \\ (3a + 4)x + 2y + 6z = 0 \end{cases}
a
Estudie para qué valores del número real aa, la única solución del sistema es la nula.1,5 pts
b
Resuélvalo, si es posible, en el caso a=−1a = -1.1 pt
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Considere los puntos A(1,2,−3)A(1, 2, -3) y O(0,0,0)O(0, 0, 0).
a
Dé la ecuación de un plano π1\pi_1 que pase por AA y OO, y sea perpendicular a π2:3x−5y+2z=11\pi_2 : 3x - 5y + 2z = 11.1,25 pts
b
Encuentre la distancia del punto medio de AA y OO a π2\pi_2.1,25 pts
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
a
Dibuje el recinto plano limitado por la parábola y=4x−x2y = 4x - x^2 y las tangentes a la curva en los puntos de intersección con el eje de las abscisas.1,5 pts
b
Halle el área del recinto dibujado en a).1 pt
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Encuentre el punto de la curva y=xy = \sqrt{x} más próximo al punto A(4,0)A(4, 0).
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Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Considere la matriz A=(sec⁡θtg⁡θ0tg⁡θsec⁡θ000−1),θ∈[−π,π]A = \begin{pmatrix} \sec \theta & \tg \theta & 0 \\ \tg \theta & \sec \theta & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}, \theta \in [-\pi, \pi].
a
Estudie para qué valores de θ\theta la matriz AA tiene inversa.1 pt
b
Busque, si es posible, la matriz inversa de AA cuando θ=π4\theta = \frac{\pi}{4}.1,5 pts
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Considere el plano π:x−y+z=−1\pi : x - y + z = -1 y el punto P(1,0,1)P(1, 0, 1).
a
Obtenga el punto P′P' simétrico de PP respecto de π\pi.1,5 pts
b
Halle el punto de corte del plano π\pi con la recta que pasa por PP y P′P'.1 pt
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Obtenga lim⁡x→0(1ln⁡(1+x)−1x)\lim_{x \to 0} \left( \frac{1}{\ln(1 + x)} - \frac{1}{x} \right).
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Obtenga ∫xln⁡2x dx\int \sqrt{x} \ln^2 x \, dx.
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