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la cuevadel empollón
Matemáticas IIBalearesPAU 2015Extraordinaria

Matemáticas II · Baleares 2015

8 ejercicios90 min de duración

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
10 puntos
Considere el siguiente sistema de ecuaciones:
a)7 pts
Discuta para qué valores de mm el sistema siguiente tiene solución distinta de la trivial: {m⋅x+2y+z=04x+2m⋅y+m⋅z=02x+(2m−2)⋅y+z=0\begin{cases} m \cdot x + 2y + z = 0 \\ 4x + 2m \cdot y + m \cdot z = 0 \\ 2x + (2m - 2) \cdot y + z = 0 \end{cases}
b)3 pts
Resuélvalo en el caso (o los casos) en que sea compatible indeterminado.
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Ejercicio 1 · Opción B

1Opción B
10 puntos
Calcule la matriz XX tal que: B⋅X−B2=A⋅BB \cdot X - B^2 = A \cdot B donde A=(101110002),B=(10−1111001)A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
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Ejercicio 2 · Opción A

2Opción A
10 puntos
Dados los puntos A(1,2,0)A(1, 2, 0), B(0,3,−1)B(0, 3, -1), C(1,0,1)C(1, 0, 1) y D(−1,2,m)D(-1, 2, m):
a)6 pts
Determine el valor de mm para que los puntos sean coplanarios.
b)4 pts
Calcule la ecuación general del plano que los contiene.
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Ejercicio 2 · Opción B

2Opción B
10 puntos
Calcule el punto simétrico del punto A(−3,1,−7)A(-3, 1, -7) respecto de la recta x+1=y−32=z+12x + 1 = \frac{y - 3}{2} = \frac{z + 1}{2}.
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Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
10 puntos
Dada la función f(x)=x3−3x2+2x+1f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 1:
a)6 pts
Determine el valor cc que verifica que la pendiente de la recta tangente de f(x)f(x) en x=cx = c es mínimo.
b)4 pts
Calcule la correspondiente recta tangente de f(x)f(x) en x=cx = c.
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Ejercicio 3 · Opción B

3Opción B
10 puntos
Demuestre que existe un único valor x>0x > 0 solución de la ecuación x2−e−x=0x^2 - e^{-x} = 0.
a)6 pts
Demuestre la existencia de la solución.
b)4 pts
Demuestre la unicidad de la solución.
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Ejercicio 4 · Opción A

4Opción A
10 puntos
Dadas las curvas y=3x−x2y = 3x - x^2 y y=x−3y = x - 3:
a)4 pts
Haga un dibujo aproximado de las curvas e indique los puntos donde se cortan.
b)6 pts
Calcule el área del recinto limitado por las dos curvas anteriores.
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Ejercicio 4 · Opción B

4Opción B
10 puntos
Calcule la integral indefinida siguiente: ∫x−2x2+xdx\int \frac{x - 2}{x^2 + x} dx
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