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la cuevadel empollón
Matemáticas IIBalearesPAU 2015Extraordinaria

Matemáticas II · Baleares 2015

4 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
Conteste de manera clara y razonada una de las dos opciones propuestas. Se dispone de 90 minutos. Cada cuestión se puntúa sobre 10 puntos. La calificación final se obtiene de dividir el total entre 4. Se valorarán la corrección y la claridad en el lenguaje (matemático y no matemático) empleado por el alumno. Se valorarán negativamente los errores de cálculo. Puede utilizar calculadora de cualquier tipo, científica, gráfica o programable, pero no se autorizará el uso de las que lleven información almacenada o puedan transmitirla.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
10 puntos
Considere el siguiente sistema de ecuaciones:
a
Discuta para qué valores de mm el sistema siguiente tiene solución distinta de la trivial:{m⋅x+2y+z=04x+2m⋅y+m⋅z=02x+(2m−2)⋅y+z=0\begin{cases} m \cdot x + 2y + z = 0 \\ 4x + 2m \cdot y + m \cdot z = 0 \\ 2x + (2m - 2) \cdot y + z = 0 \end{cases}7 pts
b
Resuélvalo en el caso (o los casos) en que sea compatible indeterminado.3 pts
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Ejercicio 2

2
10 puntos
Dados los puntos A(1,2,0)A(1, 2, 0), B(0,3,−1)B(0, 3, -1), C(1,0,1)C(1, 0, 1) y D(−1,2,m)D(-1, 2, m):
a
Determine el valor de mm para que los puntos sean coplanarios.6 pts
b
Calcule la ecuación general del plano que los contiene.4 pts
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Ejercicio 3

3
10 puntos
Dada la función f(x)=x3−3x2+2x+1f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 1:
a
Determine el valor cc que verifica que la pendiente de la recta tangente de f(x)f(x) en x=cx = c es mínimo.6 pts
b
Calcule la correspondiente recta tangente de f(x)f(x) en x=cx = c.4 pts
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Ejercicio 4

4
10 puntos
Dadas las curvas y=3x−x2y = 3x - x^2 y y=x−3y = x - 3:
a
Haga un dibujo aproximado de las curvas e indique los puntos donde se cortan.4 pts
b
Calcule el área del recinto limitado por las dos curvas anteriores.6 pts
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Ejercicio 1

1
10 puntos
Calcule la matriz XX tal que:B⋅X−B2=A⋅BB \cdot X - B^2 = A \cdot BdondeA=(101110002),B=(10−1111001)A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
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Ejercicio 2

2
10 puntos
Calcule el punto simétrico del punto A(−3,1,−7)A(-3, 1, -7) respecto de la recta x+1=y−32=z+12x + 1 = \frac{y - 3}{2} = \frac{z + 1}{2}.
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Ejercicio 3

3
10 puntos
Demuestre que existe un único valor x>0x > 0 solución de la ecuación x2−e−x=0x^2 - e^{-x} = 0.
a
Demuestre la existencia de la solución.6 pts
b
Demuestre la unicidad de la solución.4 pts
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Ejercicio 4

4
10 puntos
Calcule la integral indefinida siguiente:∫x−2x2+xdx\int \frac{x - 2}{x^2 + x} dx
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