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la cuevadel empollón
Matemáticas IIAndalucíaPAU 2016Extraordinaria

Matemáticas II · Andalucía 2016

4 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
a) Duración: 1 hora y 30 minutos. b) Tienes que elegir entre realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción A o realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción B. c) La puntuación de cada pregunta está indicada en la misma. d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara. e) Se permitirá el uso de calculadoras que no sean programables, gráficas ni con capacidad para almacenar o transmitir datos. No obstante, todos los procesos conducentes a la obtención de resultados deben estar suficientemente justificados.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Sabiendo que lim⁡x→0(1ex−1−m2x)\lim_{x \to 0} \left( \frac{1}{e^x - 1} - \frac{m}{2x} \right) es finito, calcula mm y el valor del límite.
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Sea f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R} la función definida por f(x)=x4f(x) = x^4. Encuentra la recta horizontal que corta a la gráfica de ff formando con ella un recinto de área 85\frac{8}{5}.
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales,{2x−4y+2z=15x−11y+9z=λx−3y+5z=2\begin{cases} 2x - 4y + 2z = 1 \\ 5x - 11y + 9z = \lambda \\ x - 3y + 5z = 2 \end{cases}
a
Discute el sistema según los valores de λ\lambda.1,75 pts
b
Resuélvelo, si es posible, para λ=4\lambda = 4.0,75 pts
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Considera el punto A(1,−1,1)A(1, -1, 1) y la recta rr dada por {x=1+2λy=1−λz=1\begin{cases} x = 1 + 2\lambda \\ y = 1 - \lambda \\ z = 1 \end{cases}
a
Calcula las coordenadas del punto simétrico de AA respecto a rr.1,5 pts
b
Determina la ecuación del plano que contiene a rr y pasa por AA.1 pt
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Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Sea f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R} la función definida por f(x)=x2e−x2f(x) = x^2 e^{-x^2}.
a
Estudia y determina las asíntotas de la gráfica de ff.0,75 pts
b
Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de ff y calcula sus extremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).1,25 pts
c
Esboza la gráfica de ff.0,5 pts
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Calcula ∫x1+xdx\int \frac{x}{1 + \sqrt{x}} dx (sugerencia: t=xt = \sqrt{x}).
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Sean las matricesA=(1−10),B=(111) y C=(111−1−1−1000)A = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \text{ y } C = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ -1 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
a
Calcula el rango de ABT+λIAB^T + \lambda I según los valores de λ\lambda (BTB^T es la matriz traspuesta de BB, II es la matriz identidad de orden 3).1 pt
b
Calcula la matriz XX que verifica CX−X=2ICX - X = 2I.1,5 pts
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Calcula la distancia entre las rectas dadas por las siguientes ecuacionesx=y=zy{x=1+μy=3+μz=−μx = y = z \quad \text{y} \quad \begin{cases} x = 1 + \mu \\ y = 3 + \mu \\ z = -\mu \end{cases}
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