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la cuevadel empollón
Matemáticas IIAsturiasPAU 2019Extraordinaria

Matemáticas II · Asturias 2019

4 ejercicios

Instrucciones

El examen presenta dos opciones: A y B. Elige una de ellas y responde razonadamente a los cuatro ejercicios de que consta dicha opción.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Dado el sistema{x+y+az=ax+(a−1)y+az=2−x+z=2\begin{cases} x + y + az = a \\ x + (a - 1)y + az = 2 \\ -x + z = 2 \end{cases}
a
Estudia y clasifica el sistema según los valores de a∈Ra \in \mathbb{R}.1,5 pts
b
Resuélvelo, si es posible, para el caso a=2a = 2.1 pt
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Dada la función f(x)=e−xx+1f(x) = \frac{e^{-x}}{x + 1}
a
Estudia su dominio de definición y calcula sus asíntotas.1 pt
b
Halla, si existen: máximos y mínimos e intervalos de crecimiento y decrecimiento.1 pt
c
Haz un esbozo de su gráfica.0,5 pts
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Sean A(3,1,0)A(3, 1, 0) y B(1,3,0)B(1, 3, 0) los vértices opuestos de un rombo situado en el plano π:z=0\pi: z = 0.
Datos
  • Características de un rombo: Lados iguales paralelos dos a dos. Diagonales perpendiculares que se cortan en el centro de ambas.
Diagrama de un rombo con sus diagonales perpendiculares cruzándose en el punto medio M.
a
Calcula un vector director v⃗r\vec{v}_r y la ecuación de la recta rr a la que pertenecen los otros dos vértices del rombo CC y DD.1,5 pts
b
Determina dichos vértices CC y DD sabiendo que están a una distancia de 22 unidades del punto medio MM.1 pt
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Alicia tiene dos cajones. En uno tiene las camisetas y en el otro las faldas. La tabla muestra el número de todas las prendas que guarda en los dos cajones agrupadas en tres tipos: lisas, dibujos o rayas. Se elige al azar una prenda de cada cajón. Calcula la probabilidad de que:
LisasDibujosRayas
Camisetas10510
Faldas5155
a
Las dos sean de rayas.0,75 pts
b
Las dos sean del mismo tipo.1 pt
c
Al menos una de ellas no sea de rayas.0,75 pts
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Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Sea la matriz A=(x0−1−10001x)A = \begin{pmatrix} x & 0 & -1 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & x \end{pmatrix} con x∈Rx \in \mathbb{R}.
a
Estudia para qué valores de xx se cumple A3−I=OA^3 - I = O (II matriz identidad y OO matriz nula).1 pt
b
Calcula A12A^{12} para los valores de xx que verifican la condición anterior.0,75 pts
c
Para x=0x = 0 y sabiendo que ese valor verifica la condición del primer apartado, calcula, si existe, la inversa de AA.0,75 pts
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Dadas las curvas y=x2/2y = x^2 / 2 y y=4/xy = 4 / x.
a
Calcula sus puntos de corte.0,5 pts
b
Esboza una gráfica de las curvas en el intervalo [1,3][1, 3].1 pt
c
Calcula el área que delimitan entre ellas en el intervalo [1,3][1, 3].1 pt
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Dados el plano π:x+y=1\pi: x + y = 1 y la recta rr que pasa por el punto A(1,1,1)A(1, 1, 1) con vector director v⃗r=(0,1,1)\vec{v}_r = (0, 1, 1). Calcula:
a
El punto PP intersección del plano π\pi y de la recta rr.1,25 pts
b
El punto A′A' simétrico de AA respecto al plano π\pi.1,25 pts
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Las calificaciones de un examen en una clase siguen una distribución normal de media μ=20\mu = 20 y desviación típica σ=10\sigma = 10. Calcula:
Datos
  • Algunos valores de la función de distribución de la distribución normal de media 00 y desviación típica 11: F(x)=P(Z≤x)F(x) = P(Z \leq x)
  • F(−0,8416)=0,2F(-0{,}8416) = 0{,}2
  • F(0,8416)=0,8F(0{,}8416) = 0{,}8
  • F(0,4)=0,6554F(0{,}4) = 0{,}6554
  • F(0,5)=0,6915F(0{,}5) = 0{,}6915
  • F(0,6)=0,7257F(0{,}6) = 0{,}7257
a
La probabilidad de que un alumno obtenga una calificación entre 1515 y 2525.1,25 pts
b
La calificación que sólo superan o igualan el 20%20\% de los alumnos.1,25 pts
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