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la cuevadel empollón
Matemáticas IIAndalucíaPAU 2024OrdinariaReserva A

Matemáticas II · Andalucía 2024

8 ejercicios90 min de duración

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
BLOQUE A

Resuelva sólo uno de los ejercicios del BLOQUE A.

Sea la función f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} definida por f(x)=(x2+1)exf(x) = (x^2 + 1)e^x.
a)1 pts
Calcula los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de ff.
b)1,5 pts
Determina los intervalos de concavidad y de convexidad de ff y los puntos de inflexión de su gráfica (abscisas donde se obtienen y valores que alcanzan).
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
BLOQUE A

Resuelva sólo uno de los ejercicios del BLOQUE A.

Sea la función derivable f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} definida por f(x)={ae−x+bln⁡(1−x)si x<0x+ln⁡(1+x)si x≥0f(x) = \begin{cases} ae^{-x} + b \ln(1 - x) & \text{si } x < 0 \\ x + \ln(1 + x) & \text{si } x \geq 0 \end{cases} donde ln⁡\ln denota la función logaritmo neperiano.
a)1,5 pts
Determina aa y bb.
b)1 pts
Halla la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica de ff en el punto de abscisa x=0x = 0.
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
BLOQUE B

Resuelva sólo uno de los ejercicios del BLOQUE B.

Considera la función f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} definida por f(x)=x3−6x2+8xf(x) = x^3 - 6x^2 + 8x.
a)1 pts
Calcula los puntos de corte de la gráfica de ff con los ejes de coordenadas y esboza dicha gráfica.
b)1,5 pts
Calcula la suma de las áreas de los recintos acotados y limitados por la gráfica de ff y el eje de abscisas.
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
BLOQUE B

Resuelva sólo uno de los ejercicios del BLOQUE B.

Calcula ∫e3x−1ex−3dx\int \frac{e^{3x} - 1}{e^x - 3} dx. (Sugerencia: efectúa el cambio de variable t=ext = e^x).
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Ejercicio 5

5
2,5 puntos
BLOQUE C

Resuelva sólo uno de los ejercicios del BLOQUE C.

Considera las matrices A=(1−10720001)A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 7 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} y B=(2010101/900)B = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1/9 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
a)1,25 pts
Calcula los determinantes de las matrices ((AB)5)−1((AB)^5)^{-1} y 27AB627AB^6.
b)1,25 pts
Halla la matriz XX, si es posible, que verifica que AXB=9IAXB = 9I; donde II es la matriz identidad de orden 3.
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Ejercicio 6

6
2,5 puntos
BLOQUE C

Resuelva sólo uno de los ejercicios del BLOQUE C.

Considera la matriz A=(10120a53a−10)A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 2 & 0 & a \\ 5 & 3a - 1 & 0 \end{pmatrix}.
a)1,25 pts
Calcula el rango de AA según los valores de aa.
b)1,25 pts
Si B=(124)B = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix}, X=(xyz)X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} y a=2a = 2 resuelve, si es posible, el sistema AX=BAX = B.
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Ejercicio 7

7
2,5 puntos
BLOQUE D

Resuelva sólo uno de los ejercicios del BLOQUE D.

Considera la recta r≡x+12=y−22=3−zr \equiv \frac{x + 1}{2} = \frac{y - 2}{2} = 3 - z y el punto P(0,2,−4)P(0, 2, -4).
a)1,25 pts
Calcula el punto de rr a menor distancia de PP.
b)1,25 pts
Halla los puntos de rr cuya distancia a PP sea igual a 50\sqrt{50}.
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Ejercicio 8

8
2,5 puntos
BLOQUE D

Resuelva sólo uno de los ejercicios del BLOQUE D.

Sea π1\pi_1 el plano determinado por los puntos A(1,0,0)A(1, 0, 0), B(1,1,−3)B(1, 1, -3) y C(0,1,1)C(0, 1, 1), y sea π2≡x−y+z−1=0\pi_2 \equiv x - y + z - 1 = 0. Determina la ecuación de la recta paralela a ambos planos que pasa por el origen.
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