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la cuevadel empollón
Matemáticas IIAndalucíaPAU 2024OrdinariaReserva A

Matemáticas II · Andalucía 2024

8 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
a) Duración: 1 hora y 30 minutos. b) Todas las cuestiones deben responderse en el papel entregado para la realización del examen y nunca en los folios que contienen los enunciados. c) Este examen consta de 8 ejercicios distribuidos en 4 bloques de 2 ejercicios cada uno. d) Cada ejercicio tiene un valor máximo de 2,5 puntos. e) Se realizará únicamente un ejercicio de cada bloque. En caso de responder a dos ejercicios de un bloque, sólo se corregirá el que aparezca físicamente en primer lugar. f) Se permitirá el uso de calculadoras que no sean programables, ni gráficas ni con capacidad para almacenar o transmitir datos. No obstante, todos los procesos conducentes a la obtención de resultados deben estar suficientemente justificados. g) En la puntuación máxima de cada ejercicio están contemplados 0,25 puntos para valorar la expresión correcta de los procesos y métodos utilizados.

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Bloque A

Resuelva sólo uno de los ejercicios del BLOQUE A.

Sea la función f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} definida por f(x)=(x2+1)exf(x) = (x^2 + 1)e^x.
a
Calcula los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de ff.1 pt
b
Determina los intervalos de concavidad y de convexidad de ff y los puntos de inflexión de su gráfica (abscisas donde se obtienen y valores que alcanzan).1,5 pts
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Bloque A

Resuelva sólo uno de los ejercicios del BLOQUE A.

Sea la función derivable f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} definida por f(x)={ae−x+bln⁡(1−x)si x<0x+ln⁡(1+x)si x≥0f(x) = \begin{cases} ae^{-x} + b \ln(1 - x) & \text{si } x < 0 \\ x + \ln(1 + x) & \text{si } x \geq 0 \end{cases} donde ln⁡\ln denota la función logaritmo neperiano.
a
Determina aa y bb.1,5 pts
b
Halla la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica de ff en el punto de abscisa x=0x = 0.1 pt
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Bloque B

Resuelva sólo uno de los ejercicios del BLOQUE B.

Considera la función f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} definida por f(x)=x3−6x2+8xf(x) = x^3 - 6x^2 + 8x.
a
Calcula los puntos de corte de la gráfica de ff con los ejes de coordenadas y esboza dicha gráfica.1 pt
b
Calcula la suma de las áreas de los recintos acotados y limitados por la gráfica de ff y el eje de abscisas.1,5 pts
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Bloque B

Resuelva sólo uno de los ejercicios del BLOQUE B.

Calcula ∫e3x−1ex−3dx\int \frac{e^{3x} - 1}{e^x - 3} dx. (Sugerencia: efectúa el cambio de variable t=ext = e^x).
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Ejercicio 5

5
2,5 puntos
Bloque C

Resuelva sólo uno de los ejercicios del BLOQUE C.

Considera las matrices A=(1−10720001)A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 7 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} y B=(2010101/900)B = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1/9 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
a
Calcula los determinantes de las matrices ((AB)5)−1((AB)^5)^{-1} y 27AB627AB^6.1,25 pts
b
Halla la matriz XX, si es posible, que verifica que AXB=9IAXB = 9I; donde II es la matriz identidad de orden 3.1,25 pts
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Ejercicio 6

6
2,5 puntos
Bloque C

Resuelva sólo uno de los ejercicios del BLOQUE C.

Considera la matriz A=(10120a53a−10)A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 2 & 0 & a \\ 5 & 3a - 1 & 0 \end{pmatrix}.
a
Calcula el rango de AA según los valores de aa.1,25 pts
b
Si B=(124)B = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix}, X=(xyz)X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} y a=2a = 2 resuelve, si es posible, el sistema AX=BAX = B.1,25 pts
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Ejercicio 7

7
2,5 puntos
Bloque D

Resuelva sólo uno de los ejercicios del BLOQUE D.

Considera la recta r≡x+12=y−22=3−zr \equiv \frac{x + 1}{2} = \frac{y - 2}{2} = 3 - z y el punto P(0,2,−4)P(0, 2, -4).
a
Calcula el punto de rr a menor distancia de PP.1,25 pts
b
Halla los puntos de rr cuya distancia a PP sea igual a 50\sqrt{50}.1,25 pts
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Ejercicio 8

8
2,5 puntos
Bloque D

Resuelva sólo uno de los ejercicios del BLOQUE D.

Sea π1\pi_1 el plano determinado por los puntos A(1,0,0)A(1, 0, 0), B(1,1,−3)B(1, 1, -3) y C(0,1,1)C(0, 1, 1), y sea π2≡x−y+z−1=0\pi_2 \equiv x - y + z - 1 = 0. Determina la ecuación de la recta paralela a ambos planos que pasa por el origen.
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