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la cuevadel empollón
Matemáticas IIPaís VascoPAU 2013Extraordinaria

Matemáticas II · País Vasco 2013

5 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
Este examen tiene dos opciones. Debes contestar a una de ellas. No olvides incluir el código en cada una de las hojas de examen. El examen consta de cinco ejercicios. Cada ejercicio será valorado entre 0 y 2 puntos. Se podrán utilizar calculadoras no programables.
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Ejercicio 1

1
2 puntos
Dado el siguiente sistema de ecuaciones:{x+y+az=1ay−z=−1x+2ay=0\begin{cases} x + y + az = 1 \\ ay - z = -1 \\ x + 2ay = 0 \end{cases}
a
Discutirlo según los distintos valores de aa.1,25 pts
b
Resuelve el sistema cuando sea compatible indeterminado.0,75 pts
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Ejercicio 2

2
2 puntos
Dados el punto P(1,0,−2)P(1, 0, -2) y la recta rr definida por {2x+y−4z=72x−y=5\begin{cases} 2x + y - 4z = 7 \\ 2x - y = 5 \end{cases}
a
Determina la recta que corta a rr, es perpendicular a rr y pasa por el punto PP.1 pt
b
Halla la distancia entre el punto PP y su simétrico QQ respecto de la recta rr.1 pt
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Una franquicia de tiendas de electrónica ha estimado que sus beneficios semanales (en miles de euros) dependen del número de tiendas nn que tiene en funcionamiento de acuerdo con la expresión:B(n)=−4n(2n2−15n+24)B(n) = -4n(2n^2 - 15n + 24)Determina razonadamente:
a
El número de tiendas que debe tener para maximizar sus beneficios semanales.1 pt
b
El valor de dichos beneficios máximos.1 pt
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Ejercicio 4

4
2 puntos
Dadas las tres funciones: f(x)=1/xf(x) = 1/x, g(x)=9xg(x) = 9x, h(x)=25xh(x) = 25x
a
Dibujar el recinto finito, en el primer cuadrante, limitado por las tres gráficas.1 pt
b
Calcular el área de dicho recinto.1 pt
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Ejercicio 5

5
2 puntos
El número N=3120×7140N = 3^{120} \times 7^{140} es muy grande. ¿Sabrías obtener el dígito correspondiente a las unidades? Razónalo.
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Ejercicio 1

1
2 puntos
Dada la matrizA=(13mm1317m)A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & m \\ m & 1 & 3 \\ 1 & 7 & m \end{pmatrix}
a
Estudia el rango de AA en función de los valores del parámetro mm.1,25 pts
b
Para m=0m = 0 halla la matriz inversa de AA.0,75 pts
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Ejercicio 2

2
2 puntos
Se consideran los puntos A=(1,−1,0)A = (1, -1, 0) y B=(2,0,3)B = (2, 0, 3)
a
¿Es posible encontrar un plano que sea perpendicular a la recta que une AA y BB y que además pase por el punto C=(2,2,3)C = (2, 2, 3)? En caso afirmativo hallar la ecuación de dicho plano, en caso negativo razonar la respuesta.1 pt
b
¿Es posible encontrar una recta que pase por AA, BB y CC? En caso afirmativo hallar la ecuación de la recta, en caso negativo razonar la respuesta.1 pt
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Dada la función f(x)=x3+Ax2+Bx+Cf(x) = x^3 + Ax^2 + Bx + C
a
Hallar los valores de los parámetros AA, BB y CC para que ff tenga un extremo en x=0x = 0 y otro en x=2x = 2. ¿Son únicos dichos parámetros?0,75 pts
b
Determinar de qué tipo de extremo se trata (máximo o mínimo).0,5 pts
c
Representar ff en el caso C=0C = 0.0,75 pts
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Ejercicio 4

4
2 puntos
Explicar en qué consiste el método de integración por partes y aplicarlo para calcular las siguientes integrales∫xln⁡(x) dxy∫xcos⁡(2x) dx\int x \ln(x) \, dx \quad \text{y} \quad \int x \cos(2x) \, dx
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Ejercicio 5

5
2 puntos
La suma de 25 múltiplos seguidos de 13 es 7150. ¿Cuál es el primer múltiplo de 13 que aparece en dicha suma? ¿Cuál es el último múltiplo de 13 que aparece en dicha suma?
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