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la cuevadel empollón
Matemáticas IIPaís VascoPAU 2013Extraordinaria

Matemáticas II · País Vasco 2013

10 ejercicios90 min de duración

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
2 puntos
Dado el siguiente sistema de ecuaciones: {x+y+az=1ay−z=−1x+2ay=0\begin{cases} x + y + az = 1 \\ ay - z = -1 \\ x + 2ay = 0 \end{cases}
a)1,25 pts
Discutirlo según los distintos valores de aa.
b)0,75 pts
Resuelve el sistema cuando sea compatible indeterminado.
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Ejercicio 1 · Opción B

1Opción B
2 puntos
Dada la matriz A=(13mm1317m)A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & m \\ m & 1 & 3 \\ 1 & 7 & m \end{pmatrix}
a)1,25 pts
Estudia el rango de AA en función de los valores del parámetro mm.
b)0,75 pts
Para m=0m = 0 halla la matriz inversa de AA.
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Ejercicio 2 · Opción A

2Opción A
2 puntos
Dados el punto P(1,0,−2)P(1, 0, -2) y la recta rr definida por {2x+y−4z=72x−y=5\begin{cases} 2x + y - 4z = 7 \\ 2x - y = 5 \end{cases}
a)1 pts
Determina la recta que corta a rr, es perpendicular a rr y pasa por el punto PP.
b)1 pts
Halla la distancia entre el punto PP y su simétrico QQ respecto de la recta rr.
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Ejercicio 2 · Opción B

2Opción B
2 puntos
Se consideran los puntos A=(1,−1,0)A = (1, -1, 0) y B=(2,0,3)B = (2, 0, 3)
a)1 pts
¿Es posible encontrar un plano que sea perpendicular a la recta que une AA y BB y que además pase por el punto C=(2,2,3)C = (2, 2, 3)? En caso afirmativo hallar la ecuación de dicho plano, en caso negativo razonar la respuesta.
b)1 pts
¿Es posible encontrar una recta que pase por AA, BB y CC? En caso afirmativo hallar la ecuación de la recta, en caso negativo razonar la respuesta.
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Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
2 puntos
Una franquicia de tiendas de electrónica ha estimado que sus beneficios semanales (en miles de euros) dependen del número de tiendas nn que tiene en funcionamiento de acuerdo con la expresión: B(n)=−4n(2n2−15n+24)B(n) = -4n(2n^2 - 15n + 24) Determina razonadamente:
a)1 pts
El número de tiendas que debe tener para maximizar sus beneficios semanales.
b)1 pts
El valor de dichos beneficios máximos.
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Ejercicio 3 · Opción B

3Opción B
2 puntos
Dada la función f(x)=x3+Ax2+Bx+Cf(x) = x^3 + Ax^2 + Bx + C
a)0,75 pts
Hallar los valores de los parámetros AA, BB y CC para que ff tenga un extremo en x=0x = 0 y otro en x=2x = 2. ¿Son únicos dichos parámetros?
b)0,5 pts
Determinar de qué tipo de extremo se trata (máximo o mínimo).
c)0,75 pts
Representar ff en el caso C=0C = 0.
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Ejercicio 4 · Opción A

4Opción A
2 puntos
Dadas las tres funciones: f(x)=1/xf(x) = 1/x, g(x)=9xg(x) = 9x, h(x)=25xh(x) = 25x
a)1 pts
Dibujar el recinto finito, en el primer cuadrante, limitado por las tres gráficas.
b)1 pts
Calcular el área de dicho recinto.
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Ejercicio 4 · Opción B

4Opción B
2 puntos
Explicar en qué consiste el método de integración por partes y aplicarlo para calcular las siguientes integrales ∫xln⁡(x) dxy∫xcos⁡(2x) dx\int x \ln(x) \, dx \quad \text{y} \quad \int x \cos(2x) \, dx
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Ejercicio 5 · Opción A

5Opción A
2 puntos
El número N=3120×7140N = 3^{120} \times 7^{140} es muy grande. ¿Sabrías obtener el dígito correspondiente a las unidades? Razónalo.
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Ejercicio 5 · Opción B

5Opción B
2 puntos
La suma de 25 múltiplos seguidos de 13 es 7150. ¿Cuál es el primer múltiplo de 13 que aparece en dicha suma? ¿Cuál es el último múltiplo de 13 que aparece en dicha suma?
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