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la cuevadel empollón
Matemáticas IIAragónPAU 2020Extraordinaria

Matemáticas II · Aragón 2020

10 ejercicios

Instrucciones

El examen incluye tabla N(0,1) como anexo. En total el examen consta de 10 preguntas optativas del mismo valor, de las que el/la estudiante deberá elegir un máximo de 5 preguntas, cualesquiera de ellas. Cada pregunta vale 2 puntos en total y puede contener distintos apartados, cuyas puntuaciones se indican. El estudiante debe indicar claramente en la primera página del tríptico, cuáles han sido las preguntas elegidas. (Si no se indica, y se han respondido más de 5 preguntas, sólo se corregirán las 5 preguntas que se han respondido en primer lugar).

Ejercicio 1

1
2 puntos
Dadas las matrices A=(a−30410−2−1a2)A = \begin{pmatrix} a - 3 & 0 & 4 \\ 1 & 0 & - 2 \\ - 1 & a & 2 \end{pmatrix} y b=(2−1a)b = \begin{pmatrix} 2 \\ - 1 \\ a \end{pmatrix}, siendo aa un número real cualquiera:
a
Discuta el sistema AX=bAX = b según los valores del parámetro aa.1,25 pts
b
Resuelva el sistema cuando a=1a = 1.0,75 pts
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Ejercicio 2

2
2 puntos
Una farmacia vende 3 tipos de mascarillas: quirúrgicas desechables, higiénicas y quirúrgicas reutilizables. El precio medio de las 3 mascarillas es de 0,900{,}90 €. Un cliente compra 30 unidades de mascarillas quirúrgicas desechables, 20 mascarillas higiénicas y 10 quirúrgicas reutilizables, debiendo abonar por todas ellas 56 €. Otro cliente compra 20 unidades de mascarillas quirúrgicas desechables y 25 unidades de mascarillas reutilizables y paga 31 €. Calcule el precio de cada tipo de mascarilla.
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Resuelva la ecuación matricial XA+XAt=BXA + XA^t = B, siendo A=(1−10012−1−10)A = \begin{pmatrix} 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ - 1 & - 1 & 0 \end{pmatrix} y B=(01−130−1)B = \begin{pmatrix} 0 & 1 & - 1 \\ 3 & 0 & - 1 \end{pmatrix}.
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Ejercicio 4

4
2 puntos
Halle la ecuación general del plano que contiene a la recta r:{3x+y−4z+1=02x+y−z+2=0r : \begin{cases} 3x + y - 4z + 1 = 0 \\ 2x + y - z + 2 = 0 \end{cases} y es perpendicular al plano π:2x−y+3z−1=0\pi : 2x - y + 3z - 1 = 0.
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Ejercicio 5

5
2 puntos
Calcule el siguiente límite: lim⁡x→0(1+x)2tg⁡(x)\lim_{x \to 0} (1 + x)^{2 \tg(x)}.
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Ejercicio 6

6
2 puntos
Un campo de juego quiere diseñarse de modo que la parte central sea rectangular de base yy metros y altura xx metros, y las partes laterales sean semicircunferencias (véase dibujo). Su superficie se desea que sea de 4+π m24 + \pi \text{ m}^2. Se debe pintar el perímetro y las rayas interiores de modo que la cantidad de pintura que se gaste sea mínima (es decir, su longitud total sea mínima). Halle xx e yy de modo que se verifique este requisito.
Esquema de un campo de juego con una parte central rectangular y dos laterales semicirculares.
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Ejercicio 7

7
2 puntos
Dada la siguiente función: f(x)=−x22+2ln⁡(x+1)f(x) = \frac{-x^2}{2} + 2 \ln(x + 1):
a
Calcule el dominio de f(x)f(x).0,25 pts
b
Calcule los intervalos de crecimiento y decrecimiento.1,75 pts
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Ejercicio 8

8
2 puntos
Calcule la siguiente integral: ∫x3ex2dx\int x^3 e^{x^2} dx.
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Ejercicio 9

9
2 puntos
En el mes de abril de 2020 se realizó una encuesta a los estudiantes de segundo de bachiller de un centro acerca de los dispositivos con los que seguían las clases online. El 80% disponía de ordenador, el 15% disponía de móvil y el 10% disponía de ambos dispositivos. Nos hemos encontrado por casualidad en la calle con un estudiante de este centro.
a
Halle la probabilidad de que el estudiante dispusiese de alguno de los dos dispositivos (o ambos).1,25 pts
b
Halle la probabilidad de que el estudiante no dispusiese de ninguno de los dispositivos mencionados.0,75 pts
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Ejercicio 10

10
2 puntos
Un estudiante universitario de matemáticas ha comprobado que el tiempo que le cuesta llegar desde su casa a la universidad sigue una distribución normal de media 30 minutos y desviación típica 5 minutos.
a
¿Cuál es la probabilidad de que tarde menos de 40 minutos en llegar a la universidad?0,75 pts
b
¿Cuál es la probabilidad de que tarde entre 20 y 40 minutos?0,75 pts
c
El estudiante, un día al salir de su casa, comprueba que faltan exactamente 40 minutos para que empiece la clase. ¿Cuál es la probabilidad de que llegue tarde a clase?0,5 pts
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