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la cuevadel empollón
Matemáticas CCSSCataluñaPAU 2012Ordinaria

Matemáticas CCSS · Cataluña 2012

12 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
Responda a CINCO de las seis cuestiones siguientes. En las respuestas, explique siempre qué quiere hacer y por qué. Cada cuestión vale 2 puntos. Puede utilizar calculadora, pero no se autorizará el uso de calculadoras u otros aparatos que lleven información almacenada o que puedan transmitir o recibir información.

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
2 puntos
Sobre la función f(x)=ax2+bx+cf(x) = \frac{a}{x^2 + bx + c} disponemos de los datos siguientes: — sus asíntotas verticales son x=−3x = -3 y x=1x = 1; — su gráfica pasa por el punto (0,−4)(0, -4).
a
Determine la fórmula de la función y haga un dibujo aproximado de la gráfica correspondiente.1 pt
b
En el caso a=1,b=−2a = 1, b = -2 y c=−1c = -1, determine y clasifique, si existen, los extremos relativos de la función.1 pt
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Ejercicio 1 · Opción B

1Opción B
2 puntos
La población de bacterias en una muestra evoluciona según la función f(t)=−t2+4t+12f(t) = -t^2 + 4t + 12, donde tt corresponde al número de semanas desde el inicio del experimento, y f(t)f(t) es el número de individuos que forman la muestra, en millones de unidades.
a
¿Cuántas semanas han de pasar hasta la desaparición de la población?1 pt
b
¿Cuál será el número máximo de individuos de la muestra, y al cabo de cuántas semanas se conseguirá?1 pt
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Ejercicio 2 · Opción A

2Opción A
2 puntos
Construimos en el plano el cuadrilátero de vértices A(1,1)A(1, 1), B(2,4)B(2, 4), C(4,5)C(4, 5) y D(3,0)D(3, 0), cuyos lados son los segmentos ABAB, BCBC, CDCD y DADA.
a
Escriba las desigualdades que determinan la región del plano contenida y sobre los lados del cuadrilátero ABCDABCD.1 pt
b
Utilice las desigualdades anteriores para justificar si los puntos P(3,1)P(3, 1), Q(3,4)Q(3, 4) y R(5,2)R(5, 2) son interiores, exteriores o están sobre los lados del cuadrilátero.1 pt
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Ejercicio 2 · Opción B

2Opción B
2 puntos
Construimos en el plano el triángulo de vértices A(−3,1)A(-3, 1), B(1,2)B(1, 2) y C(−2,3)C(-2, 3).
a
Halle las inecuaciones que determinan la región del plano contenida y sobre los lados del triángulo ABCABC.1 pt
b
Justifique si los puntos P(0,2)P(0, 2), Q(2,2)Q(2, 2) y R(−1,2)R(-1, 2) son interiores, exteriores o se encuentran sobre los lados del triángulo.1 pt
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Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
2 puntos
Consideramos las matrices A=(213−104)A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ -1 & 0 & 4 \end{pmatrix} y B=(1−105)B = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 5 \end{pmatrix}
a
Justifique si es posible efectuar A⋅BA \cdot B o B⋅AB \cdot A. En caso afirmativo, calcúlelo.1 pt
b
Calcule B2B^2 y B3B^3.1 pt
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Ejercicio 3 · Opción B

3Opción B
2 puntos
Dada la función f(x)=x3+ax2+bx+cf(x) = x^3 + ax^2 + bx + c, determine los valores de los tres parámetros sabiendo que la gráfica de la función pasa por el punto (1,18)(1, 18) y que tiene extremos relativos para x=−2x = -2 y x=4x = 4.
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Ejercicio 4 · Opción A

4Opción A
2 puntos
Un triángulo tiene los vértices O(0,0)O(0, 0), A(6,0)A(6, 0) y B(0,3)B(0, 3).
a
Dibújelo y escriba la ecuación de la recta que contiene el segmento ABAB.0,5 pts
b
Consideramos un punto PP situado sobre el segmento ABAB, y dibujamos el rectángulo que tiene por diagonal OPOP y dos lados sobre los ejes de coordenadas. Determine las coordenadas de PP que hacen máxima el área del rectángulo.1,5 pts
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Ejercicio 4 · Opción B

4Opción B
2 puntos
Una empresa cinematográfica dispone de tres salas, A, B y C. Los precios de entrada a estas salas son de 77 €, 88 € y 99 €, respectivamente. Un día determinado, la recaudación conjunta de las tres salas fue de 15201520 €, y el número total de espectadores fue 200200. Si se hubieran intercambiado los espectadores de las salas A y B, la recaudación total se habría incrementado en 2020 €. Calcule el número de espectadores que acudió a cada una de las salas.
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Ejercicio 5 · Opción A

5Opción A
2 puntos
Sea ff una función polinómica de grado 3, con un máximo en (0,0)(0, 0) y un mínimo en (2,−4)(2, -4).
a
Haga una gráfica aproximada de ff.0,5 pts
b
Determine la fórmula de la función.1,5 pts
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Ejercicio 5 · Opción B

5Opción B
2 puntos
Consideramos la función f(x)=1x2+3f(x) = \frac{1}{x^2 + 3}
a
Escriba la fórmula de la función que a cada número real, xx, le hace corresponder la pendiente de la recta tangente a ff en el punto de abscisa xx.1 pt
b
Determine la ecuación de la recta tangente a la gráfica de ff en el punto de abscisa x=−1x = -1.1 pt
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Ejercicio 6 · Opción A

6Opción A
2 puntos
Joan, Pere y Marc tienen, entre los tres, sesenta y tres años. Si Joan tuviera tres años menos, su edad sería el doble de las edades de Pere y Marc juntos. Si Pere tuviera un año más, su edad sería la mitad de la de Marc. ¿Cuál es la edad actual de cada uno de ellos?
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Ejercicio 6 · Opción B

6Opción B
2 puntos
Sean las matrices A=(1−3−2−8)A = \begin{pmatrix} 1 & -3 \\ -2 & -8 \end{pmatrix} y B=(834−1)B = \begin{pmatrix} 8 & 3 \\ 4 & -1 \end{pmatrix}
a
Determine las matrices XX e YY que cumplan que X−2Y=AX - 2Y = A y 2X−Y=B2X - Y = B.1 pt
b
Calcule (A+2⋅Id)2(A + 2 \cdot Id)^2, donde IdId es la matriz identidad.1 pt
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