Matemáticas II · País Vasco 2010

Se considera el sistema de ecuaciones lineales que sigue. $$S = \begin{cases} x + y + 2z = 2 \\ \alpha x + y + 2z = \alpha + 1 \\ x + y + \alpha z = 1 \end{cases}$$

Discutir la compatibilidad del siguiente sistema de ecuaciones lineales en función del parámetro $\alpha$ $$S = \begin{cases} 2x + y + 3z = 2 \\ 3x - 2y - z = 3 \\ \alpha x - y + 2z = \alpha \end{cases}$$

Sean $A$ y $B$ los puntos del espacio, de coordenadas $A = (3, 4, 1 + 2a)$ y $B = (-3, a, 0)$.

Dado el plano que pasa por los puntos $A = (1, 0, 2)$, $B = (0, -1, 3)$ y $C = (a, 2, -4)$, ¿es posible calcular el valor del parámetro $a$ para que dicho plano contenga al punto $P = (-2, 3, 0)$? En caso afirmativo calcular dicho valor.

Estudiar los máximos, los mínimos y los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función $f(x) = x^3 - 12x - 8$. Representar la gráfica de $f$.

Escribir las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva $f(x) = 4x^3 - 2x + 1$ que son paralelas a la recta $y = 10x + 2$. Estudiar los máximos y mínimos de $f$.

Calcular la integral indefinida que sigue $$\int \frac{x + 8}{x^2 + x - 2} dx$$ explicando el método seguido para el cálculo.

Sean $f(x) = x(4 - x)$ y $g(x) = x(x - 6)$. Trazar un esquema gráfico del recinto que limitan y calcular su área mediante cálculo integral.

Las tres cifras de un número suman 18. Si a ese número se le resta el que resulta de invertir el orden de sus cifras, se obtiene como resultado 594. Además la cifra de las decenas es la media aritmética entre las otras dos. Hallar dicho número.

Sean $x$ e $y$ dos números positivos cuyo producto vale 16. ¿Puede ser la suma $x + y$ menor que 7? Razonar la contestación.