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la cuevadel empollón
Matemáticas IIAndalucíaPAU 2010Ordinaria

Matemáticas II · Andalucía 2010

4 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
a) Duración: 1 hora y 30 minutos. b) Tienes que elegir entre realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción A o realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción B. c) La puntuación de cada pregunta está indicada en la misma. d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara. e) Se permitirá el uso de calculadoras que no sean programables, gráficas ni con capacidad para almacenar o transmitir datos. No obstante, todos los procesos conducentes a la obtención de resultados deben estar suficientemente justificados.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Sea ff la función definida como f(x)=ax2+ba−xf(x) = \frac{ax^2 + b}{a - x} para x≠ax \neq a.
a
Calcula aa y bb para que la gráfica de ff pase por el punto (2,3)(2, 3) y tenga una asíntota oblicua con pendiente −4-4.1,5 pts
b
Para el caso a=2a = 2, b=3b = 3, obtén la ecuación de la recta tangente a la gráfica de ff en el punto de abscisa x=1x = 1.1 pt
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Calcula∫0π2sen⁡(x) dx\int_{0}^{\pi^2} \operatorname{sen}(\sqrt{x}) \, dxSugerencia: Efectúa el cambio x=t\sqrt{x} = t.
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Sean las matricesA=(10−10m341−m),B=(1032−11)yC=(5−34−3−22)A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & m & 3 \\ 4 & 1 & -m \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \quad \text{y} \quad C = \begin{pmatrix} 5 & -3 & 4 \\ -3 & -2 & 2 \end{pmatrix}
a
Indica los valores de mm para los que AA es invertible.0,5 pts
b
Resuelve la ecuación matricial XA−Bt=CX A - B^t = C para m=0m = 0. (BtB^t es la matriz traspuesta de BB).2 pts
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Considera las rectas rr y ss de ecuacionesx−1=y=1−zy{x−2y=−1y+z=1x - 1 = y = 1 - z \qquad \text{y} \qquad \begin{cases} x - 2y = -1 \\ y + z = 1 \end{cases}
a
Determina su punto de corte.0,75 pts
b
Halla el ángulo que forman rr y ss.1 pt
c
Determina la ecuación del plano que contiene a rr y ss.0,75 pts
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Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Calculalim⁡x→0ex−esen⁡xx2\lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^{\operatorname{sen} x}}{x^2}
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Considera la función ff dada por f(x)=5−xf(x) = 5 - x y la función gg definida como g(x)=4xg(x) = \frac{4}{x} para x≠0x \neq 0.
a
Esboza el recinto limitado por las gráficas de ff y gg indicando sus puntos de corte.1 pt
b
Calcula el área de dicho recinto.1,5 pts
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Sea el siguiente sistema de ecuaciones{λx+y+z=λ+22x−λy+z=2x−y+λz=λ\begin{cases} \lambda x + y + z = \lambda + 2 \\ 2x - \lambda y + z = 2 \\ x - y + \lambda z = \lambda \end{cases}
a
Discútelo según los valores de λ\lambda. ¿Tiene siempre solución?1,75 pts
b
Resuelve el sistema para λ=−1\lambda = -1.0,75 pts
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Los puntos P(2,0,0)P(2, 0, 0) y Q(−1,12,4)Q(-1, 12, 4) son dos vértices de un triángulo. El tercer vértice SS pertenece a la recta rr de ecuación{4x+3z=33y=0\begin{cases} 4x + 3z = 33 \\ y = 0 \end{cases}
a
Calcula las coordenadas del punto SS sabiendo que rr es perpendicular a la recta que pasa por PP y SS.1,5 pts
b
Comprueba si el triángulo es rectángulo.1 pt
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