Matemáticas II · Andalucía 2010

Sea $f$ la función definida como $f(x) = \frac{ax^2 + b}{a - x}$ para $x \neq a$.

Calcula $$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^{\operatorname{sen} x}}{x^2}$$

Calcula $$\int_{0}^{\pi^2} \operatorname{sen}(\sqrt{x}) \, dx$$ Sugerencia: Efectúa el cambio $\sqrt{x} = t$.

Considera la función $f$ dada por $f(x) = 5 - x$ y la función $g$ definida como $g(x) = \frac{4}{x}$ para $x \neq 0$.

Sean las matrices $$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & m & 3 \\ 4 & 1 & -m \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \quad \text{y} \quad C = \begin{pmatrix} 5 & -3 & 4 \\ -3 & -2 & 2 \end{pmatrix}$$

Sea el siguiente sistema de ecuaciones $$\begin{cases} \lambda x + y + z = \lambda + 2 \\ 2x - \lambda y + z = 2 \\ x - y + \lambda z = \lambda \end{cases}$$

Considera las rectas $r$ y $s$ de ecuaciones $$x - 1 = y = 1 - z \qquad \text{y} \qquad \begin{cases} x - 2y = -1 \\ y + z = 1 \end{cases}$$

Los puntos $P(2, 0, 0)$ y $Q(-1, 12, 4)$ son dos vértices de un triángulo. El tercer vértice $S$ pertenece a la recta $r$ de ecuación $$\begin{cases} 4x + 3z = 33 \\ y = 0 \end{cases}$$