Matemáticas II · Baleares 2014

Discuta para qué valores de $b$ el sistema siguiente es compatible: $$\begin{cases} x + 2y - z = 2 \\ x + (1 + b)y - bz = 2b \\ x + by + (1 + b)z = 1 \end{cases}$$

Resuélvalo en el caso (o los casos) en que sea compatible indeterminado.

Discuta para qué valores de $a$ el sistema siguiente es compatible: $$\begin{cases} a \cdot x + y + 2z = 1 \\ 2x - 2y = 0 \\ a \cdot x + y - z = 1 \end{cases}$$

Resuélvalo en el caso (o los casos) en que sea compatible.

$A$: el simétrico del punto $P(1, 2, 3)$ respecto del plano $x = z$.

$B$: la proyección ortogonal del punto $Q(2, 1, 3)$ sobre el plano $z = 0$.

$C$: el origen de coordenadas.

Calcule y determine los extremos de $f(x)$.

Calcule y determine los puntos de inflexión de $f(x)$.

Calcule $a$ y $b$ para que la función $$f(x) = \begin{cases} \ln(x - 1)^2 + a, & \text{si } 3/2 \leq x \leq 2 \\ b \cdot x^2 - 6x, & \text{si } 2 < x \leq 4 \end{cases}$$ sea continua en el intervalo $[3/2, 4]$ y derivable en el intervalo $(3/2, 4)$.

Para los valores de $a$ y $b$ determinados en el apartado a), calcule los puntos del intervalo $(1, 4)$ donde la pendiente de la recta tangente es 3.