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la cuevadel empollón
Matemáticas IICastilla y LeónPAU 2025Ordinaria

Matemáticas II · Castilla y León 2025

7 ejercicios90 min de duración

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
2,5 puntos
APARTADO 1

Elija UN problema del Apartado 1.

Considera el siguiente sistema de ecuaciones: {mx+2y+2z=12x+my+2z=m5x+2y+2z=1\begin{cases} mx + 2y + 2z = 1 \\ 2x + my + 2z = m \\ 5x + 2y + 2z = 1 \end{cases} donde m∈Rm \in \mathbb{R}.
a)1,5 pts
Discutir el sistema de ecuaciones según los valores del parámetro mm, indicando el número de soluciones en cada caso.
b)1 pts
Resolver, razonadamente, el sistema de ecuaciones para m=3m = 3.
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Ejercicio 1 · Opción B

1Opción B
2,5 puntos
APARTADO 1

Elija UN problema del Apartado 1.

Se consideran las matrices A=(11−1−1)A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}, B=(01)B = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}, N=(2221)N = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} y C=(2−2−2244)C = \begin{pmatrix} 2 & -2 \\ -2 & 2 \\ 4 & 4 \end{pmatrix}.
a)1 pts
Calcular la matriz M=AtA−BBtM = A^t A - B B^t, donde AtA^t y BtB^t representan las matrices transpuestas de AA y BB, respectivamente.
b)1,5 pts
Hallar la matriz XX que cumple la igualdad XN=CXN = C.
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
APARTADO 2
Se considera la función f(x)=2xe−2x2f(x) = 2xe^{-2x^2}.
a)1,5 pts
Determinar su dominio de definición, intervalos de crecimiento y decrecimiento, sus máximos y mínimos relativos y sus asíntotas.
b)1 pts
Calcular el área de la región limitada por la gráfica de la función ff y el eje de abscisas en el intervalo [0,2][0, 2].
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Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
2,5 puntos
APARTADO 3

Elija UN problema del Apartado 3.

Sean las rectas r≡x4=y−1−2=z2r \equiv \frac{x}{4} = \frac{y - 1}{-2} = \frac{z}{2} y s≡x−1=y−mm−1=z−33s \equiv x - 1 = \frac{y - m}{m - 1} = \frac{z - 3}{3}.
a)1,5 pts
Comprobar que las rectas rr y ss se cortan para cualquier valor de mm.
b)1 pts
Para m=6m = 6 hallar el punto de intersección de las rectas rr y ss.
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Ejercicio 3 · Opción B

3Opción B
2,5 puntos
APARTADO 3

Elija UN problema del Apartado 3.

Se considera el vector u⃗=(3,−1,5)\vec{u} = (3, -1, 5).
a)0,75 pts
Determinar aa para que el vector t⃗=(1,a,0)\vec{t} = (1, a, 0) sea perpendicular a u⃗\vec{u}.
b)0,75 pts
Determinar un vector w⃗\vec{w} perpendicular a u⃗=(3,−1,5)\vec{u} = (3, -1, 5) y v⃗=(2,6,0)\vec{v} = (2, 6, 0).
c)1 pts
Dados u⃗=(3,−1,5)\vec{u} = (3, -1, 5), v⃗=(2,6,0)\vec{v} = (2, 6, 0) y w⃗=(−3,1,2)\vec{w} = (-3, 1, 2). Determinar el volumen del paralelepípedo definido por los vectores u⃗\vec{u}, v⃗\vec{v} y w⃗\vec{w}.
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Ejercicio 4 · Opción A

4Opción A
2,5 puntos
APARTADO 4

Elija UN problema del Apartado 4.

Se sabe que la probabilidad de que un autobús de línea regular entre Madrid y Burgos sufra un accidente en día nublado es 0,090{,}09 y en día seco 0,0050{,}005. Durante un periodo de 1010 días ha habido 77 días secos y 33 nublados. Sabiendo que se ha producido un accidente en esos días, se pide:
a)1,25 pts
Hallar la probabilidad de que fuera en día nublado.
b)1,25 pts
Hallar la probabilidad de que fuera en día seco.
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Ejercicio 4 · Opción B

4Opción B
2,5 puntos
APARTADO 4

Elija UN problema del Apartado 4.

De una urna que contiene cuatro bolas rojas y dos azules, extraemos una bola y, sin devolverla a la urna, extraemos otra a continuación.
a)0,75 pts
Hallar la probabilidad de que sean de distinto color.
b)0,75 pts
Hallar la probabilidad de que la segunda bola sea azul.
c)1 pts
Si la segunda bola es azul, hallar la probabilidad de que la primera sea roja.
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