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la cuevadel empollón
Matemáticas IICastilla y LeónPAU 2025Ordinaria

Matemáticas II · Castilla y León 2025

7 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
1. OPTATIVIDAD: El examen consta de quatre apartados: un apartado con un problema obligatorio y 3 apartados con la posibididad de elegir entre dos problemas. Se deben responder a un máximo de CUATRO PROBLEMAS: el problema obligatorio (apartado 2) y solamente un problema de cada uno de los tres apartados restantes. No esnecessary hacerlo en el mesmoorden en que estan enunciados, pero se expressesarclaramente cualesson los elegidos. En caso de responder a dos problemas de un mesmo apartado, solo se corrigirése que aparezca en primer lugar según elorden de numeración de pliegos y hojas de cada pliego y que no aparezca totalmente tachado. 2. CALCULadora: Podrnan usarse calculadoras no programables, que no admitan memoria para texto, ni para resoluciones de ecuaciones ni calculo matricular, ni para resoluciones de integrales, ni para representaciones gramíficas. 3. CRITERIOS GENERALES DE EVALUACION: Cada uno de los problemas se punctuará sobre un máximo de 2,5+puntos. Se observaran fundamentalmente los siguientes aspectos: correctautilización de los conceptos,definiciones y propiédades relacionadas con la naturaleza de la situación que se trata de resolver; justificaciones teóricas que se apoten para el descarrollo de las respuestos; claridad y coherencia en la exposión;precisionen los calciudos y en las notaciones. Deben figurarexplicitamente las operaciones no triviales, de modo que PODan reconstruire laargumentación lógica y los calciudos. 4. DEDUCCIONES POR ERRORES ORTOGRÁFICOS Y GRAMMATICALES: Se penalizarán los errors ortógráficos (grafías, tildes y punctuación) cometidos, hasta un máximo de un punto en la nota global del examen, teniéndose en cuenta que la repetition delsame error se contabilizará como sólouno,los dos primeros errors no se penalizarán y, a partir deltering error ortógráfico, se deducirá 0,1+puntos por error. Por errors en la redacción, en la presentación, incoherencia o incorrección l'éxica o gramatical se podrardeducir un máximo de medio punto de la nota global. 5. El examendebe realizarseusando bolígrafo azul o negro (sólo un color). No PODen usarse ni lápiz, ni bolígrafo borrable, ni bolígrafo deotro color.

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
2,5 puntos
Apartado 1

Elija UN problema del Apartado 1.

Considera el siguiente sistema de ecuaciones:{mx+2y+2z=12x+my+2z=m5x+2y+2z=1\begin{cases} mx + 2y + 2z = 1 \\ 2x + my + 2z = m \\ 5x + 2y + 2z = 1 \end{cases}donde m∈Rm \in \mathbb{R}.
a
Discutir el sistema de ecuaciones según los valores del parámetro mm, indicando el número de soluciones en cada caso.1,5 pts
b
Resolver, razonadamente, el sistema de ecuaciones para m=3m = 3.1 pt

Ejercicio 1 · Opción B

1Opción B
2,5 puntos
Apartado 1

Elija UN problema del Apartado 1.

Se consideran las matrices A=(11−1−1)A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}, B=(01)B = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}, N=(2221)N = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} y C=(2−2−2244)C = \begin{pmatrix} 2 & -2 \\ -2 & 2 \\ 4 & 4 \end{pmatrix}.
a
Calcular la matriz M=AtA−BBtM = A^t A - B B^t, donde AtA^t y BtB^t representan las matrices transpuestas de AA y BB, respectivamente.1 pt
b
Hallar la matriz XX que cumple la igualdad XN=CXN = C.1,5 pts

Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Apartado 2
Se considera la función f(x)=2xe−2x2f(x) = 2xe^{-2x^2}.
a
Determinar su dominio de definición, intervalos de crecimiento y decrecimiento, sus máximos y mínimos relativos y sus asíntotas.1,5 pts
b
Calcular el área de la región limitada por la gráfica de la función ff y el eje de abscisas en el intervalo [0,2][0, 2].1 pt

Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
2,5 puntos
Apartado 3

Elija UN problema del Apartado 3.

Sean las rectas r≡x4=y−1−2=z2r \equiv \frac{x}{4} = \frac{y - 1}{-2} = \frac{z}{2} y s≡x−1=y−mm−1=z−33s \equiv x - 1 = \frac{y - m}{m - 1} = \frac{z - 3}{3}.
a
Comprobar que las rectas rr y ss se cortan para cualquier valor de mm.1,5 pts
b
Para m=6m = 6 hallar el punto de intersección de las rectas rr y ss.1 pt

Ejercicio 3 · Opción B

3Opción B
2,5 puntos
Apartado 3

Elija UN problema del Apartado 3.

Se considera el vector u⃗=(3,−1,5)\vec{u} = (3, -1, 5).
a
Determinar aa para que el vector t⃗=(1,a,0)\vec{t} = (1, a, 0) sea perpendicular a u⃗\vec{u}.0,75 pts
b
Determinar un vector w⃗\vec{w} perpendicular a u⃗=(3,−1,5)\vec{u} = (3, -1, 5) y v⃗=(2,6,0)\vec{v} = (2, 6, 0).0,75 pts
c
Dados u⃗=(3,−1,5)\vec{u} = (3, -1, 5), v⃗=(2,6,0)\vec{v} = (2, 6, 0) y w⃗=(−3,1,2)\vec{w} = (-3, 1, 2). Determinar el volumen del paralelepípedo definido por los vectores u⃗\vec{u}, v⃗\vec{v} y w⃗\vec{w}.1 pt

Ejercicio 4 · Opción A

4Opción A
2,5 puntos
Apartado 4

Elija UN problema del Apartado 4.

Se sabe que la probabilidad de que un autobús de línea regular entre Madrid y Burgos sufra un accidente en día nublado es 0,090{,}09 y en día seco 0,0050{,}005. Durante un periodo de 1010 días ha habido 77 días secos y 33 nublados. Sabiendo que se ha producido un accidente en esos días, se pide:
a
Hallar la probabilidad de que fuera en día nublado.1,25 pts
b
Hallar la probabilidad de que fuera en día seco.1,25 pts

Ejercicio 4 · Opción B

4Opción B
2,5 puntos
Apartado 4

Elija UN problema del Apartado 4.

De una urna que contiene cuatro bolas rojas y dos azules, extraemos una bola y, sin devolverla a la urna, extraemos otra a continuación.
a
Hallar la probabilidad de que sean de distinto color.0,75 pts
b
Hallar la probabilidad de que la segunda bola sea azul.0,75 pts
c
Si la segunda bola es azul, hallar la probabilidad de que la primera sea roja.1 pt