Matemáticas CCSS · Cataluña 2018

Considere la función $$f(x) = \begin{cases} 2x + 3 & \text{si } x \leq -1 \\ ax + b & \text{si } -1 < x < 2 \\ x^2 & \text{si } x \geq 2 \end{cases}$$ Encuentre el valor de $a$ y $b$ para que la función sea continua para todos los números reales.

Al terminar un curso de pintura, los alumnos reciben como obsequio un estuche con rotuladores y colores. Se regalan dos tipos de estuches: los rojos, que contienen 1 rotulador y 2 colores y cuestan $9$ €; y los verdes, que llevan 3 rotuladores y 1 color y cuestan $15$ €. La escuela dispone de 200 rotuladores y 100 colores para llenar los estuches. Necesita preparar al menos 40 estuches y que el número de estuches rojos no supere el número de estuches verdes. Con estos datos, la escuela quiere calcular el precio que deberá pagar por estos obsequios.

Un inversor ha obtenido un beneficio de $1{,}500$ € después de invertir un total de $40{,}000$ € en tres empresas diferentes. Estos beneficios se desglosan de la manera siguiente: la cantidad invertida en la empresa A le ha reportado un $2\%$ de beneficios, la cantidad invertida en la empresa B, un $5\%$, y la cantidad invertida en la empresa C, un $7\%$. El dinero invertido en la empresa B ha sido el mismo que en las otras dos empresas juntas. ¿Cuál fue la cantidad invertida en cada una de las tres empresas?

El gasto mensual en tabaco de un fumador viene determinado por su salario mediante la función $f(x) = \frac{400x}{x^2 + 4}$ en la que $x$ representa el salario en miles de euros y $f(x)$ el gasto mensual en tabaco en euros.

Resuelva las preguntas siguientes:

Sabemos que la función $f(x) = \frac{ax + b}{cx + 1}$ pasa por el punto $(2, -5)$ y que las rectas $x = 1$ y $y = 2$ son sus asíntotas vertical y horizontal, respectivamente. Calcule $a$, $b$ y $c$.