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la cuevadel empollón
Matemáticas IIAndalucíaPAU 2018Extraordinaria

Matemáticas II · Andalucía 2018

4 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
a) Duración: 1 hora y 30 minutos. b) Tienes que elegir entre realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción A o realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción B. c) Se permitirá el uso de calculadoras que no sean programables, ni gráficas ni con capacidad para almacenar o transmitir datos. No obstante, todos los procesos conducentes a la obtención de resultados deben estar suficientemente justificados. d) En la puntuación máxima de cada ejercicio están contemplados 0,25 puntos para valorar la expresión correcta de los procesos y métodos utilizados.
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Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Considera la función f:R→Rf : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} definida porf(x)={ax2+bx+csi x≤0ex−e−x−2xsi x>0f(x) = \begin{cases} ax^2 + bx + c & \text{si } x \leq 0 \\ e^x - e^{-x} - 2x & \text{si } x > 0 \end{cases}Determina aa, bb y cc sabiendo que ff es continua, alcanza un máximo relativo en x=−1x = -1 y la recta tangente a la gráfica de ff en el punto de abscisa x=−2x = -2 tiene pendiente 22.
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Considera la función ff definida por f(x)=axln⁡(x)−bxf(x) = ax \ln(x) - bx para x>0x > 0 (ln⁡\ln denota la función logaritmo neperiano). Determina aa y bb sabiendo que ff tiene un extremo relativo en x=1x = 1 y que∫12f(x)dx=8ln⁡(2)−9\int_{1}^{2} f(x) dx = 8 \ln(2) - 9
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Considera las siguientes matricesA=(0010−10100)yB=(abc010−100)A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \quad \text{y} \quad B = \begin{pmatrix} a & b & c \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{pmatrix}
a
Determina, si existen, los valores de aa, bb y cc para los que las matrices AA y BB conmutan.0,75 pts
b
Calcula A2A^2, A3A^3, A2017A^{2017} y A2018A^{2018}.1 pt
c
Calcula, si existe, la matriz inversa de AA.0,75 pts
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Considera las rectasr≡x+12=y1=z+13ys≡{2x−3y=−5y−2z=−1r \equiv \frac{x + 1}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z + 1}{3} \qquad \text{y} \qquad s \equiv \begin{cases} 2x - 3y = -5 \\ y - 2z = -1 \end{cases}
a
Estudia y determina la posición relativa de rr y ss.1 pt
b
Calcula la distancia entre rr y ss.1,5 pts
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Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Considera la función ff definida por f(x)=aln⁡(x)+bx2+xf(x) = a \ln(x) + bx^2 + x para x>0x > 0, donde ln⁡\ln denota logaritmo neperiano.
a
Halla aa y bb sabiendo que ff tiene extremos relativos en x=1x = 1 y en x=2x = 2.1,5 pts
b
¿Qué tipo de extremos tiene ff en x=1x = 1 y en x=2x = 2?1 pt
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Considera la función f:R→Rf : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} definida por f(x)=e−2xf(x) = e^{-2x}.
a
Determina el punto de la gráfica de ff en el que la recta tangente es y=−2exy = -2ex.0,75 pts
b
Esboza el recinto limitado por la gráfica de ff, la recta y=−2exy = -2ex y el eje de ordenadas.0,5 pts
c
Calcula el área del recinto descrito en el apartado anterior.1,25 pts
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales{x+y+mz=m2y−z=mx+my+z=m\begin{cases} x + y + mz = m^2 \\ y - z = m \\ x + my + z = m \end{cases}
a
Discute el sistema según los valores del parámetro mm.1,5 pts
b
Resuélvelo para m=1m = 1. Para dicho valor de mm, calcula, si es posible, una solución en la que z=2z = 2.1 pt
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Considera las rectasr≡x−12=y+1m=zys≡{x+nz=−2y−z=−3r \equiv \frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{m} = z \quad \text{y} \quad s \equiv \begin{cases} x + nz = -2 \\ y - z = -3 \end{cases}
a
Halla los valores de mm y nn para los que rr y ss se cortan perpendicularmente.1,5 pts
b
Para m=3m = 3 y n=1n = 1, calcula la ecuación general del plano que contiene a rr y a ss.1 pt
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