Matemáticas CCSS · Murcia 2018

Discutir el siguiente sistema en función del parámetro $a$: $$\begin{cases} x + 2y - z = 6 \\ y + z = 1 \\ ax + y - 2z = 4 \end{cases}$$ Resolverlo para $a = 2$.

Una fábrica produce dos modelos de bolsos, tipo A y tipo B. Cada bolso tipo A requiere $5\,\text{m}^2$ de piel y $5$ horas de trabajo y cada bolso del modelo B requiere $5\,\text{m}^2$ de piel y $10$ horas de trabajo. Dispone de $200\,\text{m}^2$ de piel y $225$ horas de trabajo. Además, quiere producir mayor o igual número de bolsos tipo A que B. El beneficio obtenido es de $50$ euros por cada bolso tipo A y $80$ euros por cada bolso tipo B. Hallar el número de bolsos que debe fabricar de cada tipo para obtener el máximo beneficio. Calcular dicho beneficio máximo.

Una empresa fabrica un determinado producto, que vende al precio unitario de $15$ euros. La función de costes, que representa el coste (en unidades monetarias) en función del número de unidades de producto, es $C(x) = 2x^2 - 45x + 300$, donde $x$ es el número de unidades del producto. Hallar el número de unidades que ha de vender para obtener el máximo beneficio, sabiendo que el beneficio es igual al ingreso total obtenido por la venta menos los costes. Calcular el beneficio máximo.

Hallar las derivadas de las siguientes funciones:

Hallar el área del recinto acotado limitado por la gráfica de la función $y = x^2 - x - 2$, el eje OX y las rectas $x = -2$ y $x = 2$. Hacer la representación gráfica de dicha área.

Dadas las funciones $f(x) = e^x$ y $g(x) = x^3 - 2x + 1$, cuyas gráficas aparecen en la siguiente figura, hallar el área del recinto acotado limitado por las dos gráficas y las rectas $x = -1$ y $x = 0$.

El examen de una asignatura consta de tres pruebas. La primera prueba es superada por el $80\%$ de los alumnos que la realizan. Esta prueba es eliminatoria, por lo que si no se supera no se pueden realizar las otras, y se suspende la asignatura. La segunda prueba tiene dos convocatorias en las que puede superarse, la ordinaria y la extraordinaria (para alumnos que no la hayan superado en la ordinaria). Superan esta prueba el $35\%$ de los alumnos en la convocatoria ordinaria y el $50\%$ de los alumnos que se presentan a la extraordinaria. La tercera prueba solo pueden realizarla los alumnos que tienen las otras dos pruebas superadas, y la supera el $75\%$ de los alumnos presentados.

La probabilidad de que un autobús llegue con retraso a una parada es $0{,}2$. Si pasa cuatro veces a lo largo del día por la parada, calcular la probabilidad de que:

En una muestra aleatoria de tamaño $200$ de árboles de una población se ha obtenido que $45$ tienen una plaga. Hallar un intervalo de confianza al $90\%$ para la proporción de árboles de la población que tienen la plaga.

La altura para una determinada población sigue una distribución normal con una desviación típica conocida $\sigma$. Para hallar un intervalo de confianza para la media de la población se ha tomado una muestra aleatoria simple de $100$ individuos, obteniéndose una altura media de $145\,\text{cm}$. Si el intervalo de confianza con un nivel de significación $0{,}05$ construido a partir de los datos anteriores es $(135{,}2, 154{,}8)$, hallar el valor de $\sigma$.