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la cuevadel empollón
Matemáticas IIPaís VascoPAU 2023Ordinaria

Matemáticas II · País Vasco 2023

10 ejercicios90 min de duración

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
2,5 puntos
PRIMERA PARTE

Responda solo a uno de los dos ejercicios (A1 o B1).

Discute la existencia de solución del siguiente sistema en función del parámetro α\alpha: {x+2y+3z=1x+αy+z=12x+3y+4z=2\begin{cases} x + 2y + 3z = 1 \\ x + \alpha y + z = 1 \\ 2x + 3y + 4z = 2 \end{cases} Resuelve el sistema en los casos α=1\alpha = 1 y α=2\alpha = 2.
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Ejercicio 1 · Opción B

1Opción B
2,5 puntos
PRIMERA PARTE

Responda solo a uno de los dos ejercicios (A1 o B1).

Calcula el rango de la matriz AA según los valores del parámetro α\alpha, siendo A=(α0α03α0α01−12)A = \begin{pmatrix} \alpha & 0 & \alpha & 0 \\ 3 & \alpha & 0 & \alpha \\ 0 & 1 & -1 & 2 \end{pmatrix}
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Ejercicio 2 · Opción A

2Opción A
2,5 puntos
SEGUNDA PARTE

Responda solo a uno de los dos ejercicios (A2 o B2).

Sea rr la recta cuyas ecuaciones cartesianas son: r≡{x+y−z=12x+2y+z=2r \equiv \begin{cases} x + y - z = 1 \\ 2x + 2y + z = 2 \end{cases}
a)1 pts
Calcula las ecuaciones paramétricas de la recta rr.
b)1,5 pts
Calcula las ecuaciones paramétricas de la recta que corta perpendicularmente a rr y pasa por el punto P(2,1,0)P(2, 1, 0), que es exterior a rr.
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Ejercicio 2 · Opción B

2Opción B
2,5 puntos
SEGUNDA PARTE

Responda solo a uno de los dos ejercicios (A2 o B2).

Sean rr la recta cuya ecuación continua es: x−11=y−1−1=z−12\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 1}{-1} = \frac{z - 1}{2}, los planos de ecuaciones π1≡x+y+z=1\pi_1 \equiv x + y + z = 1 y π2≡x+y−z=1\pi_2 \equiv x + y - z = 1, P1P_1 el punto de corte de la recta rr con el plano π1\pi_1 y P2P_2 el punto de corte de la recta rr con el plano π2\pi_2. Calcula:
a)1,5 pts
las coordenadas de los puntos P1P_1 y P2P_2.
b)0,5 pts
la distancia entre los puntos P1P_1 y P2P_2.
c)0,5 pts
la distancia del punto P1P_1 al plano π2\pi_2.
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Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
2,5 puntos
TERCERA PARTE

Responda solo a uno de los dos ejercicios (A3 o B3).

Sea la función f(x)=x4−2x3+x2f(x) = x^4 - 2x^3 + x^2. Calcula sus intervalos de crecimiento y decrecimiento y encuentra sus máximos y mínimos relativos. Calcula la recta tangente a la gráfica de ff en el punto de abscisa x=2x = 2.
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Ejercicio 3 · Opción B

3Opción B
2,5 puntos
TERCERA PARTE

Responda solo a uno de los dos ejercicios (A3 o B3).

La función f(x)=Ax2+Bx+Cf(x) = Ax^2 + Bx + C es creciente en el intervalo (−∞,1)(-\infty, 1) y decreciente en el intervalo (1,∞)(1, \infty). Además, la recta tangente a su gráfica en el punto de abscisa x=2x = 2 es perpendicular a la recta de ecuación y=x+2y = x + 2 y f(0)=lim⁡x→0sen⁡xxf(0) = \lim_{x \to 0} \frac{\sen x}{x}. Calcula los valores de los parámetros AA, BB y CC.
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Ejercicio 4 · Opción A

4Opción A
2,5 puntos
CUARTA PARTE

Responda solo a uno de los dos ejercicios (A4 o B4).

Dibuja el recinto del primer cuadrante limitado inferiormente por la curva de ecuación y=x24y = \frac{x^2}{4} y superiormente por las curvas de ecuaciones y=4x2y = \frac{4}{x^2} e y=4y = 4. Calcula el área de ese recinto.
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Ejercicio 4 · Opción B

4Opción B
2,5 puntos
CUARTA PARTE

Responda solo a uno de los dos ejercicios (A4 o B4).

Calcula las siguientes integrales: ∫x2+4(x+2)2dx,∫(x+2)sen⁡(3x)dx\int \frac{x^2 + 4}{(x + 2)^2} dx, \quad \int (x + 2) \sen(3x) dx
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Ejercicio 5 · Opción A

5Opción A
2,5 puntos
QUINTA PARTE

Responda solo a uno de los dos ejercicios (A5 o B5).

La producción de una empresa la realizan, a partes iguales, cuatro turnos, de los que tres son diurnos y uno nocturno. El porcentaje de piezas defectuosas producidas en cada turno diurno es el 2%2\% y en el nocturno es del 10%10\%. Si se toma una pieza al azar de un turno al azar,
a)1,25 pts
calcula la probabilidad de que la pieza sea defectuosa.
b)1,25 pts
si la pieza tomada es defectuosa, calcula la probabilidad de que se haya producido en un turno diurno.
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Ejercicio 5 · Opción B

5Opción B
2,5 puntos
QUINTA PARTE

Responda solo a uno de los dos ejercicios (A5 o B5).

Los resultados obtenidos en una prueba de matemáticas siguen una distribución normal con media 6565 puntos y desviación típica 1818 puntos. El 15%15\% del alumnado está en el nivel avanzado, el 65%65\% en el nivel medio y el 20%20\% restante en el nivel inicial. Decide, razonando tus respuestas, en qué nivel situaremos a los alumnos o alumnas que han obtenido las siguientes notas:
a)1,25 pts
85,585{,}5 puntos.
b)1,25 pts
4848 puntos.
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