Saltar al contenido
la cuevadel empollón
Matemáticas IIPaís VascoPAU 2023Ordinaria

Matemáticas II · País Vasco 2023

10 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
El examen incluye tabla N(0,1) como anexo. Este examen tiene cinco partes, de 2,5 puntos cada una. Debes responder a CUATRO de ellas. En cada parte debes responder a una única pregunta. En caso de responder a más preguntas de las estipuladas, las respuestas se corregirán en orden hasta llegar al número necesario. No olvides incluir el código en cada una de las hojas de examen. No se podrán usar calculadoras que tengan alguna de las siguientes prestaciones: pantalla gráfica, posibilidad de transmitir datos, programable, resolución de ecuaciones, operaciones con matrices, cálculo de determinantes, cálculo de derivadas e integrales, almacenamiento de datos alfanuméricos.

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
2,5 puntos
Primera parte

Responda solo a uno de los dos ejercicios (A1 o B1).

Discute la existencia de solución del siguiente sistema en función del parámetro α\alpha:{x+2y+3z=1x+αy+z=12x+3y+4z=2\begin{cases} x + 2y + 3z = 1 \\ x + \alpha y + z = 1 \\ 2x + 3y + 4z = 2 \end{cases}Resuelve el sistema en los casos α=1\alpha = 1 y α=2\alpha = 2.
Ver este ejercicio

Ejercicio 1 · Opción B

1Opción B
2,5 puntos
Primera parte

Responda solo a uno de los dos ejercicios (A1 o B1).

Calcula el rango de la matriz AA según los valores del parámetro α\alpha, siendoA=(α0α03α0α01−12)A = \begin{pmatrix} \alpha & 0 & \alpha & 0 \\ 3 & \alpha & 0 & \alpha \\ 0 & 1 & -1 & 2 \end{pmatrix}
Ver este ejercicio

Ejercicio 2 · Opción A

2Opción A
2,5 puntos
Segunda parte

Responda solo a uno de los dos ejercicios (A2 o B2).

Sea rr la recta cuyas ecuaciones cartesianas son:r≡{x+y−z=12x+2y+z=2r \equiv \begin{cases} x + y - z = 1 \\ 2x + 2y + z = 2 \end{cases}
a
Calcula las ecuaciones paramétricas de la recta rr.1 pt
b
Calcula las ecuaciones paramétricas de la recta que corta perpendicularmente a rr y pasa por el punto P(2,1,0)P(2, 1, 0), que es exterior a rr.1,5 pts
Ver este ejercicio

Ejercicio 2 · Opción B

2Opción B
2,5 puntos
Segunda parte

Responda solo a uno de los dos ejercicios (A2 o B2).

Sean rr la recta cuya ecuación continua es: x−11=y−1−1=z−12\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 1}{-1} = \frac{z - 1}{2}, los planos de ecuaciones π1≡x+y+z=1\pi_1 \equiv x + y + z = 1 y π2≡x+y−z=1\pi_2 \equiv x + y - z = 1, P1P_1 el punto de corte de la recta rr con el plano π1\pi_1 y P2P_2 el punto de corte de la recta rr con el plano π2\pi_2. Calcula:
a
las coordenadas de los puntos P1P_1 y P2P_2.1,5 pts
b
la distancia entre los puntos P1P_1 y P2P_2.0,5 pts
c
la distancia del punto P1P_1 al plano π2\pi_2.0,5 pts
Ver este ejercicio

Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
2,5 puntos
Tercera parte

Responda solo a uno de los dos ejercicios (A3 o B3).

Sea la función f(x)=x4−2x3+x2f(x) = x^4 - 2x^3 + x^2. Calcula sus intervalos de crecimiento y decrecimiento y encuentra sus máximos y mínimos relativos. Calcula la recta tangente a la gráfica de ff en el punto de abscisa x=2x = 2.
Ver este ejercicio

Ejercicio 3 · Opción B

3Opción B
2,5 puntos
Tercera parte

Responda solo a uno de los dos ejercicios (A3 o B3).

La función f(x)=Ax2+Bx+Cf(x) = Ax^2 + Bx + C es creciente en el intervalo (−∞,1)(-\infty, 1) y decreciente en el intervalo (1,∞)(1, \infty). Además, la recta tangente a su gráfica en el punto de abscisa x=2x = 2 es perpendicular a la recta de ecuación y=x+2y = x + 2 y f(0)=lim⁡x→0sen⁡xxf(0) = \lim_{x \to 0} \frac{\sen x}{x}. Calcula los valores de los parámetros AA, BB y CC.
Ver este ejercicio

Ejercicio 4 · Opción A

4Opción A
2,5 puntos
Cuarta parte

Responda solo a uno de los dos ejercicios (A4 o B4).

Dibuja el recinto del primer cuadrante limitado inferiormente por la curva de ecuación y=x24y = \frac{x^2}{4} y superiormente por las curvas de ecuaciones y=4x2y = \frac{4}{x^2} e y=4y = 4. Calcula el área de ese recinto.
Ver este ejercicio

Ejercicio 4 · Opción B

4Opción B
2,5 puntos
Cuarta parte

Responda solo a uno de los dos ejercicios (A4 o B4).

Calcula las siguientes integrales:∫x2+4(x+2)2dx,∫(x+2)sen⁡(3x)dx\int \frac{x^2 + 4}{(x + 2)^2} dx, \quad \int (x + 2) \sen(3x) dx
Ver este ejercicio

Ejercicio 5 · Opción A

5Opción A
2,5 puntos
Quinta parte

Responda solo a uno de los dos ejercicios (A5 o B5).

La producción de una empresa la realizan, a partes iguales, cuatro turnos, de los que tres son diurnos y uno nocturno. El porcentaje de piezas defectuosas producidas en cada turno diurno es el 2%2\% y en el nocturno es del 10%10\%. Si se toma una pieza al azar de un turno al azar,
a
calcula la probabilidad de que la pieza sea defectuosa.1,25 pts
b
si la pieza tomada es defectuosa, calcula la probabilidad de que se haya producido en un turno diurno.1,25 pts
Ver este ejercicio

Ejercicio 5 · Opción B

5Opción B
2,5 puntos
Quinta parte

Responda solo a uno de los dos ejercicios (A5 o B5).

Los resultados obtenidos en una prueba de matemáticas siguen una distribución normal con media 6565 puntos y desviación típica 1818 puntos. El 15%15\% del alumnado está en el nivel avanzado, el 65%65\% en el nivel medio y el 20%20\% restante en el nivel inicial. Decide, razonando tus respuestas, en qué nivel situaremos a los alumnos o alumnas que han obtenido las siguientes notas:
Datos
  • Media μ=65\mu = 65
  • Desviación típica σ=18\sigma = 18
a
85,585{,}5 puntos.1,25 pts
b
4848 puntos.1,25 pts
Ver este ejercicio