Matemáticas II · País Vasco 2016

Discute el siguiente sistema según los valores del parámetro $b$ $$\begin{cases} x + y + z = 0 \\ -x + 2y + bz = -3 \\ x - 2y - z = b \end{cases}$$ Encontrar la solución, si existe, para el caso $b = 2$.

Determina el rango de la matriz $A$ según los valores del parámetro $a$: $$A = \begin{pmatrix} -1 & 2 & a \\ a & a - 3 & -1 \\ 0 & 2 & 1 \end{pmatrix}$$ En caso de existir, calcula la inversa de $A$ para $a = 1$. Si no existe tal inversa explica porqué.

Calcular la distancia del punto $A$ de coordenadas $(4, 4, 3)$ al plano que pasa por los puntos de coordenadas $B(1, 1, 0)$, $C(1, 0, 1)$ y $D(0, 1, 1)$.

Sea $r$ la recta que pasa por los puntos $P(-1, 0, 1)$ y $Q(3, 2, 1)$.

Calcular los valores $A$, $B$, $C$ y $D$ para que la función $$f(x) = Ax^3 + Bx^2 + Cx + D$$ tenga extremos relativos en $(0, 0)$ y en $(2, 2)$.

Dada la función polinómica $$P(x) = \frac{x^4}{2} - x^3 + \frac{x^2}{2}$$

Resolver las siguientes integrales.

Dadas las funciones $$y = 9 - x^2 \quad \text{y} \quad y = 2x + 1$$

Calcula la cifra de las unidades del número $$N = 3^{2016} + 2^{2016}$$

Ampliamos una fotografía rectangular de manera que sus dimensiones, largo y ancho, sean un $20\%$ más que las dimensiones originales. Si la nueva fotografía ocupa $432$ centímetros cuadrados, ¿cuánto ocupaba la fotografía inicial?