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la cuevadel empollón
Matemáticas IICantabriaPAU 2015Extraordinaria

Matemáticas II · Cantabria 2015

3 ejercicios

Instrucciones

1. Debe escogerse una sola de las opciones. 2. Debe exponerse con claridad el planteamiento de la respuesta o el método utilizado para su resolución. Todas las respuestas deben ser razonadas. 3. Entre corchetes se indica la puntuación máxima de cada apartado. 4. No se permite el uso de calculadoras gráficas ni programables. Tampoco está permitido el uso de dispositivos con acceso a Internet.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
3,25 puntos
Considere el siguiente sistema de ecuaciones dependiendo del parámetro aa{ax+2ay+az=a+1x+(a+1)y+(2−a)z=2a\begin{cases} ax + 2ay + az = a + 1 \\ x + (a + 1)y + (2 - a)z = 2a \end{cases}
a
Calcule los valores de aa para que el sistema tenga solución.1,75 pts
b
Calcule todas las soluciones cuando a=1a = 1 y cuando a=−1a = -1.1,5 pts
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Ejercicio 2

2
3,5 puntos
Considere la función f(x)=x⋅cos⁡(x)f(x) = x \cdot \cos(x).
a
Calcule una primitiva de f(x)f(x) y el área encerrada bajo la gráfica de f(x)f(x) que se muestra sombreada en la figura. (Indicación: calcule los puntos de corte de la gráfica de f(x)f(x) con los ejes).2,5 pts
Gráfica de la función f(x) con áreas sombreadas entre la curva y el eje x.
b
Calcule la recta tangente a f(x)f(x) en x=0x = 0.1 pt
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Ejercicio 3

3
3,25 puntos
Considere los puntos A=(1,1,0)A = (1, 1, 0), B=(2,1,1)B = (2, 1, 1), C=(−1,1,2)C = (-1, 1, 2).
a
Calcule la ecuación implícita (general) del plano que pasa por AA, BB y CC.1 pt
b
Calcule el ángulo que forman las rectas ABAB y ACAC.1 pt
c
Calcule el área del triángulo ABCABC.1,25 pts
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Ejercicio 1

1
3,25 puntos
El precio de 1 kilo de manzanas, 2 de peras y una docena de huevos es de 5 euros. El precio de 2 kilos de manzanas, 4 kilos de peras y tres docenas de huevos es de 12 euros. El precio de 5 docenas de huevos y 2 kilos de peras es de 11 euros y 50 céntimos.
a
Calcule el precio del kilo de peras, el kilo de manzanas y la docena de huevos.2 pts
b
Pedro ha comprado dos kilos de manzanas y tres kilos de peras. Carmen ha comprado un kilo de manzanas, una docena de huevos y dos kilos de peras. ¿Quién ha gastado más dinero?1,25 pts
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Ejercicio 2

2
3,5 puntos
Considere la función f(x)=x2+2x2−1f(x) = \frac{x^2 + 2}{x^2 - 1}
a
Calcule su dominio, intervalos de crecimiento y decrecimiento.1,5 pts
b
Calcule sus máximos y mínimos relativos y sus asíntotas.1 pt
c
Haga un esbozo de la gráfica de la función.1 pt
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Ejercicio 3

3
3,25 puntos
Considere la recta r≡{x+y+z=−2x−2y=4r \equiv \begin{cases} x + y + z = -2 \\ x - 2y = 4 \end{cases}
a
Determine la ecuación paramétrica de rr.1 pt
b
Calcule el plano ortogonal a rr que pasa por el punto P=(2,4,0)P = (2, 4, 0).1,25 pts
c
Calcule la distancia entre PP y rr.1 pt
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