Matemáticas II · Murcia 2010

Calcular, si es posible, la inversa de la matriz A.

Enunciar el teorema de Rouché-Fröbenius. Aplicar dicho teorema para discutir si el sistema siguiente tiene solución y si la solución es única en función de los posibles valores del parámetro $k$ (no es necesario resolver el sistema).

Calcular el punto más cercano al punto $P = (1, 3, 0)$ de entre todos los puntos de la recta determinada por el punto $Q = (-2, 2, 1)$ y el vector $\vec{v} = (1, 1, 1)$. Calcular la distancia del punto $P$ a la recta.

Comprobar que las rectas $$r: x + 1 = \frac{y + 2}{2} = \frac{z - 1}{3}$$ y $$s: \begin{cases} x = \lambda \\ y = 1 + \lambda \\ z = 2 - \lambda \end{cases}$$ no se cortan y no son paralelas. Calcular la distancia entre ellas.

Dada la función $f(x) = \sqrt{4 + x^2}$, se pide:

La vela mayor de un barco tiene forma de triángulo rectángulo. Sabiendo que la hipotenusa debe medir $6$ metros, calcular sus dimensiones para que la superficie de la vela sea máxima.

Calcular el área encerrada por las curvas $f(x) = x^3 + x^2 + 2x + 1$ y $g(x) = 4x^2 + 1$.

Calcular la integral siguiente: $\int_{0}^{1} \frac{x^2}{x^2 - x - 2} dx$.