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la cuevadel empollón
Matemáticas CCSSLa RiojaPAU 2013Extraordinaria

Matemáticas CCSS · La Rioja 2013

7 ejercicios

Instrucciones

El examen incluye tabla N(0,1) como anexo. Contesta sólo una de las dos opciones propuestas (OPCIÓN A/OPCIÓN B).
Elige una opción

Ejercicio 1

1
1 punto
Parte A1

Responda a cuatro de las cinco preguntas de la Parte A1.

Sea la función f(x)=4x−x3f(x) = 4x - x^3. Calcular el área limitada por f(x)f(x) y la recta y=−5xy = -5x. En la imagen siguiente aparece sombreada el área solicitada.
Gráfica de la función f(x) y la recta y = -5x con el área entre ellas sombreada en el segundo cuadrante.
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Ejercicio 2

2
1 punto
Parte A1

Responda a cuatro de las cinco preguntas de la Parte A1.

Sea la función f(x)=ax3+bf(x) = ax^3 + b. Calcular los valores de aa y bb para que f(x)f(x) pase por el punto (1,1)(1, 1) y, además, la recta tangente a f(x)f(x) en dicho punto tenga pendiente 33.
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Ejercicio 3

3
1 punto
Parte A1

Responda a cuatro de las cinco preguntas de la Parte A1.

Consideremos el conjunto de restricciones{y+3x≤27x+3y≤27y+x≤11x≥0y≥0\begin{cases} y + 3x \leq 27 \\ x + 3y \leq 27 \\ y + x \leq 11 \\ x \geq 0 \\ y \geq 0 \end{cases}Dibujar la región factible y encontrar en ella el máximo de la función f(x,y)=2x+yf(x, y) = 2x + y.
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Ejercicio 4

4
1 punto
Parte A1

Responda a cuatro de las cinco preguntas de la Parte A1.

Sean las matrices A=(1101)A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} y I=(1001)I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}. Determinar los valores reales, pp y qq para los que se cumple la ecuación:A2+p⋅At+q⋅I=−2⋅A−1A^2 + p \cdot A^t + q \cdot I = -2 \cdot A^{-1}(Nota: AtA^t indica la matriz traspuesta de la matriz AA y A2A^2 indica el producto de matrices A⋅AA \cdot A.)
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Ejercicio 5

5
1 punto
Parte A1

Responda a cuatro de las cinco preguntas de la Parte A1.

El temario en el que se basa una prueba consta de 1515 temas. La prueba consiste en seleccionar al azar dos de esos temas y desarrollar uno de ellos.
a
¿Cuántas parejas distintas de temas pueden darse?0,25 pts
b
Si sólo he preparado 66 temas, ¿qué probabilidad tengo de suspender? Se supone que suspendo si no he preparado ninguno de los dos temas seleccionados.0,75 pts
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Ejercicio 6

6
3 puntos
Parte A2
Consideremos el sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas siguiente:{ax+y=1x+y+2z=13(y+3z)=a\begin{cases} ax + y = 1 \\ x + y + 2z = 1 \\ 3(y + 3z) = a \end{cases}
a
Determinar los valores del parámetro aa para los que el sistema es compatible y determinado.1 pt
b
¿Existe algún valor para el que el sistema es compatible e indeterminado?, ¿e incompatible?1 pt
c
Resolver el sistema para a=3a = 3.1 pt
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Ejercicio 7

7
3 puntos
Parte A2
El 60%60\% de los conductores riojanos son hombres. Un estudio realizado entre los conductores riojanos indica que el 15%15\% de los hombres y el 10%10\% de las mujeres fueron multados alguna vez a lo largo del último año.
a
Calcula el porcentaje de conductores multados dicho año.1 pt
b
Se sabe que un determinado conductor no fue multado, calcula el porcentaje de que sea mujer.1 pt
c
El 10%10\% del total de conductores eran "novatos" y, entre ellos, el porcentaje de multados fue del 10%10\%. Usando el resultado de a), calcula el porcentaje de multados entre los "veteranos" (no novatos).1 pt
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Ejercicio 1

1
1 punto
Parte B1

Responda a cuatro de las cinco preguntas de la Parte B1.

Sea la función f(x)=4x−x3f(x) = 4x - x^3. Calcular el área limitada por f(x)f(x) y la recta y=−5xy = -5x. En la imagen siguiente aparece sombreada el área solicitada.
Gráfica de la función f(x) y la recta y = -5x con el área entre ellas sombreada en el segundo cuadrante.
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Ejercicio 2

2
1 punto
Parte B1

Responda a cuatro de las cinco preguntas de la Parte B1.

Sea la función f(x)=ax3+bf(x) = ax^3 + b. Calcular los valores de aa y bb para que f(x)f(x) pase por el punto (1,1)(1, 1) y, además, la recta tangente a f(x)f(x) en dicho punto tenga pendiente 33.
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Ejercicio 3

3
1 punto
Parte B1

Responda a cuatro de las cinco preguntas de la Parte B1.

Consideremos el conjunto de restricciones{y+3x≤27x+3y≤27y+x≤11x≥0y≥0\begin{cases} y + 3x \leq 27 \\ x + 3y \leq 27 \\ y + x \leq 11 \\ x \geq 0 \\ y \geq 0 \end{cases}Dibujar la región factible y encontrar en ella el máximo de la función f(x,y)=2x+yf(x, y) = 2x + y.
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Ejercicio 4

4
1 punto
Parte B1

Responda a cuatro de las cinco preguntas de la Parte B1.

Sean las matrices A=(1101)A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} y I=(1001)I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}. Determinar los valores reales, pp y qq, para los que se cumple la ecuaciónA2+p⋅At+q⋅I=−2⋅A−1A^2 + p \cdot A^t + q \cdot I = -2 \cdot A^{-1}(Nota: AtA^t indica la matriz traspuesta de la matriz AA y A2A^2 indica el producto de matrices A⋅AA \cdot A.)
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Ejercicio 5

5
1 punto
Parte B1

Responda a cuatro de las cinco preguntas de la Parte B1.

El temario en el que se basa una prueba consta de 1515 temas. La prueba consiste en seleccionar al azar dos de esos temas y desarrollar uno de ellos.
a
¿Cuántas parejas distintas de temas pueden darse?0,25 pts
b
Si sólo he preparado 66 temas, ¿qué probabilidad tengo de suspender? Se supone que suspendo si no he preparado ninguno de los dos temas seleccionados.0,75 pts
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Ejercicio 6

6
3 puntos
Parte B2
Sea la función f(x)=x2−1x2+1f(x) = \frac{x^2 - 1}{x^2 + 1}.
a
Determinar los cortes con los ejes de la función y, en caso de haberlas, sus asíntotas.1 pt
b
Estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función y determinar sus extremos relativos.1 pt
c
Usando la información de los apartados anteriores, hacer un dibujo aproximado de la gráfica de la función.1 pt
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Ejercicio 7

7
3 puntos
Parte B2
Se sabe que las puntuaciones obtenidas en un test siguen una distribución normal de media 5858 puntos y desviación típica 55 puntos.
a
Si se toma una muestra de 1616 personas, ¿cuál es la probabilidad de que la media de las puntuaciones obtenidas por esa muestra supere los 5656 puntos?1,5 pts
b
Calcula un intervalo de confianza, con un nivel del 90%90\% para la variable de las medias de las muestras de tamaño 2525.1,5 pts
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