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la cuevadel empollón
Matemáticas CCSSMadridPAU 2021Ordinaria

Matemáticas CCSS · Madrid 2021

10 ejercicios90 min de duración

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
2 puntos
Se considera la matriz A A=(a010b010a)A = \begin{pmatrix} a & 0 & 1 \\ 0 & b & 0 \\ 1 & 0 & a \end{pmatrix}
a)1 pts
Determine los valores de los parámetros reales aa y bb para los que A=A−1A = A^{-1}.
b)1 pts
Para a=b=2a = b = 2, calcule la matriz inversa de AA.
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Ejercicio 1 · Opción B

1Opción B
2 puntos
Se considera el sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real aa: {x+y−z=−1x−y+a2z=32x−y+z=4\begin{cases} x + y - z = -1 \\ x - y + a^2 z = 3 \\ 2x - y + z = 4 \end{cases}
a)1 pts
Discuta el sistema en función de los valores del parámetro aa.
b)1 pts
Resuelva el sistema para a=1a = 1.
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Ejercicio 2 · Opción A

2Opción A
2 puntos
Se considera la función real de variable real f(x)=x3+4x2−1f(x) = \frac{x^3 + 4}{x^2 - 1}
a)1 pts
Determine el dominio de f(x)f(x) y calcule sus asíntotas.
b)1 pts
Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f(x)f(x) en el punto de abscisa x=0x = 0.
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Ejercicio 2 · Opción B

2Opción B
2 puntos
Un almacén de frutos secos tiene un saco de 50 kg50\,\text{kg} de almendras y otro de 25 kg25\,\text{kg} de avellanas. Quiere mezclarlos para preparar bolsas mixtas para su venta. La cantidad de almendras de la mezcla ha de ser como mínimo 1,51{,}5 veces la cantidad de avellanas. Además, para que le sea rentable la preparación, deberá vender al menos 60 kg60\,\text{kg} entre ambos tipos de frutos secos. Por otra parte, no puede vender más de 70 kg70\,\text{kg} entre ambos. Represente la región factible. Calcule la cantidad de cada fruto seco que ha de contener la mezcla para obtener el máximo beneficio si un kg de almendras le deja un beneficio de 1 €1\,€ y un kg de avellanas de 2 €2\,€, y obtenga el beneficio que se obtiene con la venta de esta mezcla.
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Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
2 puntos
Se considera la función real de variable real definida por: f(x)={x2−axsi x≤1ln⁡xsi x>1f(x) = \begin{cases} x^2 - ax & \text{si } x \leq 1 \\ \ln x & \text{si } x > 1 \end{cases} denotando por ln⁡\ln la función logaritmo neperiano.
a)1 pts
Determine para qué valores de a∈Ra \in \mathbb{R} la función f(x)f(x) es continua en R\mathbb{R}.
b)1 pts
Para a=1a = 1, halle el área de la región acotada delimitada por la función f(x)f(x), el eje de abscisas y las rectas x=−1x = -1, x=0x = 0.
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Ejercicio 3 · Opción B

3Opción B
2 puntos
Se considera la función real de variable real, definida f(x)=(x2−3)exf(x) = (x^2 - 3)e^x
a)1 pts
Obtenga los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f(x)f(x) y determine sus extremos relativos indicando si corresponden a máximos o mínimos.
b)1 pts
Calcule ∫12e−xf(x)dx\int_{1}^{2} e^{-x} f(x) dx
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Ejercicio 4 · Opción A

4Opción A
2 puntos
El 60 %60\,\% de los empleados de una multinacional teletrabaja desde que se declaró la situación de emergencia sanitaria por Covid-19. De estos, el 30 %30\,\% padece trastornos del sueño, mientras que este porcentaje se eleva al 80 %80\,\% para aquellos empleados que no teletrabajan. Seleccionado un empleado al azar, calcule la probabilidad de que:
a)1 pts
No tenga trastornos del sueño y teletrabaje.
b)1 pts
No teletrabaje, sabiendo que no tiene trastornos del sueño.
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Ejercicio 4 · Opción B

4Opción B
2 puntos
Se consideran los sucesos AA y BB de un experimento aleatorio tales que: P(A)=0,5P(Bˉ∣A)=0,4P(A∪B)=0,9P(A) = 0{,}5 \quad P(\bar{B} | A) = 0{,}4 \quad P(A \cup B) = 0{,}9
a)1 pts
Calcule P(B∣Aˉ)P(B | \bar{A})
b)1 pts
Determine si son dependientes o independientes los sucesos AA y BB. Justifique la respuesta.
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Ejercicio 5 · Opción A

5Opción A
2 puntos
Se quiere evaluar el uso de las redes sociales por parte de los menores de 14 años.
a)1 pts
Se toma una muestra de 500 menores de 14 años, de los cuales 320 tienen cuenta en alguna red social. Calcule el intervalo de confianza al 96 %96\,\% para estimar la proporción de menores de 14 años que tienen cuenta en alguna red social.
b)1 pts
Suponiendo que la proporción poblacional es P=0,5P = 0{,}5, determine el tamaño mínimo necesario de una muestra de menores de 14 años para garantizar que, con una confianza del 95 %95\,\%, el margen de error en la estimación no supere el 5 %5\,\%.
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Ejercicio 5 · Opción B

5Opción B
2 puntos
El consumo diario de pan de un estudiante de secundaria sigue una distribución normal de media μ\mu y desviación típica 2020 gramos.
a)1 pts
Se toma una muestra aleatoria simple de tamaño 3636. Calcule la probabilidad de que la media muestral Xˉ\bar{X} no supere los 125125 gramos si μ=120\mu = 120 gramos.
b)1 pts
Sabiendo que para una muestra aleatoria simple de 8181 estudiantes de secundaria se ha obtenido el intervalo de confianza (117,3444;124,6556)(117{,}3444; 124{,}6556) para μ\mu, determine el nivel de confianza con el que se obtuvo dicho intervalo.
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