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la cuevadel empollón
Matemáticas IICastilla y LeónPAU 2022Ordinaria

Matemáticas II · Castilla y León 2022

10 ejercicios

Instrucciones

El examen incluye tabla N(0,1) como anexo. INDICACIONES: 1.- OPTATIVIDAD: El alumno deberá escoger libremente cinco ejercicios completos de los diez propuestos. Se expresará claramente cuáles son los elegidos. Si se resolvieran más, sólo se corregirán los 5 primeros que estén resueltos (según el orden de numeración de pliegos y hojas de cada pliego) y que no aparezcan totalmente tachados. 2.- CALCULADORA: Podrán usarse calculadoras no programables, que no admitan memoria para texto, ni para resolución de ecuaciones, ni para resolución de integrales, ni para representaciones gráficas. CRITERIOS GENERALES DE EVALUACIÓN: Los 5 ejercicios se puntuarán sobre un máximo de 2 puntos. Se observarán fundamentalmente los siguientes aspectos: correcta utilización de los conceptos, definiciones y propiedades relacionadas con la naturaleza de la situación que se trata de resolver; justificaciones teóricas que se aporten para el desarrollo de las respuestas; claridad y coherencia en la exposición; precisión en los cálculos y en las notaciones. Deben figurar explícitamente las operaciones no triviales, de modo que puedan reconstruirse la argumentación lógica y los cálculos.

Ejercicio 1

1
2 puntos
Dado el sistema {2x+2my−z=0x+2y+mz=0x−my+mz=0\begin{cases} 2x + 2my - z = 0 \\ x + 2y + mz = 0 \\ x - my + mz = 0 \end{cases}
a
Discuta el sistema según los distintos valores de mm.1 pt
b
Resuelva el sistema si m=−2m = -2.1 pt
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Ejercicio 2

2
2 puntos
Dada la matriz A=(aa0a)A = \begin{pmatrix} a & a \\ 0 & a \end{pmatrix}, calcule el valor de aa que hace que:A2=A−1+(0300)A^2 = A^{-1} + \begin{pmatrix} 0 & 3 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}
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Ejercicio 3

3
2 puntos
a
Dada la recta r≡x−12=y+21=z+14r \equiv \frac{x - 1}{2} = \frac{y + 2}{1} = \frac{z + 1}{4} y el plano π≡2x+y+mz=0\pi \equiv 2x + y + mz = 0, calcule mm para que la recta y el plano sean perpendiculares.1 pt
b
Calcule el plano perpendicular a los planos π≡x+y+z=1\pi \equiv x + y + z = 1 y π1≡x−y+z=2\pi_1 \equiv x - y + z = 2, que pasa por el punto (1,2,3)(1, 2, 3).1 pt
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Ejercicio 4

4
2 puntos
Considere el punto P=(2,2,1)P = (2, 2, 1) y el plano π≡2x+3y−3z+6=0\pi \equiv 2x + 3y - 3z + 6 = 0.
a
Halle la recta que pasa por PP y es perpendicular a π\pi.1 pt
b
Calcule la distancia del punto Q=(2,2,−2)Q = (2, 2, -2) al plano π\pi.1 pt
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Ejercicio 5

5
2 puntos
Dada la función f(x)=xexf(x) = xe^x, determínense su dominio de definición, asíntotas, intervalos de crecimiento y decrecimiento, extremos relativos, intervalos de concavidad y convexidad y puntos de inflexión. Esbócese también su gráfica.
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Ejercicio 6

6
2 puntos
Calcule:
a
lim⁡x→0ex−x−1x2\lim_{x \to 0} \frac{e^x - x - 1}{x^2}1 pt
b
∫01xexdx\int_{0}^{1} xe^x dx1 pt
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Ejercicio 7

7
2 puntos
Dadas las curvas de ecuaciones y=3xy = \sqrt{3x} y y=13x2y = \frac{1}{3}x^2,
a
Dibuje las curvas y señale el recinto plano comprendido entre ambas.1 pt
b
Calcule el área de dicho recinto.1 pt
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Ejercicio 8

8
2 puntos
a
Halle el área del recinto del plano limitado por la gráfica de f(x)=x3−4xf(x) = x^3 - 4x, el eje OX.1 pt
b
Calcule lim⁡x→0xsen⁡x2−2cos⁡x\lim_{x \to 0} \frac{x \sen x}{2 - 2 \cos x}1 pt
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Ejercicio 9

9
2 puntos
Una corporación fabrica herramientas de 3 tipos de calidades. Un 10%10\% de calidad Alta; un 70%70\% de calidad Estándar y un 20%20\% de calidad Baja. Se sabe que son defectuosas el 1%1\%; el 10%10\% y el 30%30\% del total de las herramientas respectivamente.
a
Se elige una herramienta al azar. Definiendo correctamente los sucesos que intervienen, calcúlese la probabilidad de que sea defectuosa.1 pt
b
Se elige una herramienta que resulta ser defectuosa. Definiendo correctamente los sucesos que intervienen, calcúlese la probabilidad de que la elegida sea de calidad estándar.1 pt
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Ejercicio 10

10
2 puntos
El tiempo que transcurre hasta la primera avería de una unidad de cierta marca de impresoras viene dado, aproximadamente, por una distribución normal con un promedio de 15001500 horas y una desviación típica de 200200 horas.
Datos
  • F(x)=12π∫−∞xe−12t2dtF(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{x} e^{-\frac{1}{2}t^2} dt
Gráfica de la función de densidad de una distribución normal estándar con el área bajo la curva sombreada hasta un valor x.
a
¿Qué porcentaje de impresoras fallarán antes de 10001000 horas de funcionamiento?1 pt
b
Si compramos 500500 impresoras ¿Cuántas de esas impresoras tendrán la primera avería entre las 10001000 y 20002000 horas de uso?1 pt
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