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la cuevadel empollón
Matemáticas IICastilla y LeónPAU 2022Ordinaria

Matemáticas II · Castilla y León 2022

10 ejercicios

Ejercicio 1

1
2 puntos
Dado el sistema {2x+2my−z=0x+2y+mz=0x−my+mz=0\begin{cases} 2x + 2my - z = 0 \\ x + 2y + mz = 0 \\ x - my + mz = 0 \end{cases}
a)1 pts
Discuta el sistema según los distintos valores de mm.
b)1 pts
Resuelva el sistema si m=−2m = -2.
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Ejercicio 2

2
2 puntos
Dada la matriz A=(aa0a)A = \begin{pmatrix} a & a \\ 0 & a \end{pmatrix}, calcule el valor de aa que hace que: A2=A−1+(0300)A^2 = A^{-1} + \begin{pmatrix} 0 & 3 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}
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Ejercicio 3

3
2 puntos
a)1 pts
Dada la recta r≡x−12=y+21=z+14r \equiv \frac{x - 1}{2} = \frac{y + 2}{1} = \frac{z + 1}{4} y el plano π≡2x+y+mz=0\pi \equiv 2x + y + mz = 0, calcule mm para que la recta y el plano sean perpendiculares.
b)1 pts
Calcule el plano perpendicular a los planos π≡x+y+z=1\pi \equiv x + y + z = 1 y π1≡x−y+z=2\pi_1 \equiv x - y + z = 2, que pasa por el punto (1,2,3)(1, 2, 3).
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Ejercicio 4

4
2 puntos
Considere el punto P=(2,2,1)P = (2, 2, 1) y el plano π≡2x+3y−3z+6=0\pi \equiv 2x + 3y - 3z + 6 = 0.
a)1 pts
Halle la recta que pasa por PP y es perpendicular a π\pi.
b)1 pts
Calcule la distancia del punto Q=(2,2,−2)Q = (2, 2, -2) al plano π\pi.
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Ejercicio 5

5
2 puntos
Dada la función f(x)=xexf(x) = xe^x, determínense su dominio de definición, asíntotas, intervalos de crecimiento y decrecimiento, extremos relativos, intervalos de concavidad y convexidad y puntos de inflexión. Esbócese también su gráfica.
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Ejercicio 6

6
2 puntos
Calcule:
a)1 pts
lim⁡x→0ex−x−1x2\lim_{x \to 0} \frac{e^x - x - 1}{x^2}
b)1 pts
∫01xexdx\int_{0}^{1} xe^x dx
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Ejercicio 7

7
2 puntos
Dadas las curvas de ecuaciones y=3xy = \sqrt{3x} y y=13x2y = \frac{1}{3}x^2,
a)1 pts
Dibuje las curvas y señale el recinto plano comprendido entre ambas.
b)1 pts
Calcule el área de dicho recinto.
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Ejercicio 8

8
2 puntos
a)1 pts
Halle el área del recinto del plano limitado por la gráfica de f(x)=x3−4xf(x) = x^3 - 4x, el eje OX.
b)1 pts
Calcule lim⁡x→0xsen⁡x2−2cos⁡x\lim_{x \to 0} \frac{x \sen x}{2 - 2 \cos x}
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Ejercicio 9

9
2 puntos
Una corporación fabrica herramientas de 3 tipos de calidades. Un 10%10\% de calidad Alta; un 70%70\% de calidad Estándar y un 20%20\% de calidad Baja. Se sabe que son defectuosas el 1%1\%; el 10%10\% y el 30%30\% del total de las herramientas respectivamente.
a)1 pts
Se elige una herramienta al azar. Definiendo correctamente los sucesos que intervienen, calcúlese la probabilidad de que sea defectuosa.
b)1 pts
Se elige una herramienta que resulta ser defectuosa. Definiendo correctamente los sucesos que intervienen, calcúlese la probabilidad de que la elegida sea de calidad estándar.
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Ejercicio 10

10
2 puntos
El tiempo que transcurre hasta la primera avería de una unidad de cierta marca de impresoras viene dado, aproximadamente, por una distribución normal con un promedio de 15001500 horas y una desviación típica de 200200 horas.
Gráfica de la función de densidad de una distribución normal estándar con el área bajo la curva sombreada hasta un valor x.
Gráfica de la función de densidad de una distribución normal estándar con el área bajo la curva sombreada hasta un valor x.
a)1 pts
¿Qué porcentaje de impresoras fallarán antes de 10001000 horas de funcionamiento?
b)1 pts
Si compramos 500500 impresoras ¿Cuántas de esas impresoras tendrán la primera avería entre las 10001000 y 20002000 horas de uso?
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