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la cuevadel empollón
Matemáticas IICastilla y LeónPAU 2010Extraordinaria

Matemáticas II · Castilla y León 2010

4 ejercicios

Instrucciones

1.- OPTATIVIDAD: El alumno deberá escoger una de las dos opciones, pudiendo desarrollar los cuatro ejercicios de la misma en el orden que desee. 2.- CALCULADORA: Se permitirá el uso de calculadoras no programables (que no admitan memoria para texto ni representaciones gráficas). CRITERIOS GENERALES DE EVALUACIÓN: Cada ejercicio se puntuará sobre un máximo de 2,5 puntos. Se observarán fundamentalmente los siguientes aspectos: Correcta utilización de los conceptos, definiciones y propiedades relacionadas con la naturaleza de la situación que se trata de resolver. Justificaciones teóricas que se aporten para el desarrollo de las respuestas. Claridad y coherencia en la exposición. Precisión en los cálculos y en las notaciones. Deben figurar explícitamente las operaciones no triviales, de modo que puedan reconstruirse la argumentación lógica y los cálculos.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Se divide un alambre de 100 m100\,\text{m} de longitud en dos segmentos de longitud xx y 100−x100 - x. Con el de longitud xx se forma un triángulo equilátero, y con el otro un cuadrado. Sea f(x)f(x) la suma de las áreas. ¿Para qué valor de xx dicha suma es mínima?
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Determinar la función ff tal que f′(x)=x4+x+1x2+xf'(x) = \frac{x^4 + x + 1}{x^2 + x} y con f(1)=2f(1) = 2.
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
a
Determinar las ecuaciones de los planos paralelos al plano π≡12x+3y−4z=7\pi \equiv 12x + 3y - 4z = 7 que distan 6 unidades del mismo.1,5 pts
b
Probar que el punto P(2,1,1)P(2, 1, 1) pertenece a π\pi, y calcular la recta perpendicular a π\pi que pasa por PP.1 pt
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Discutir, y resolver en los casos que sea posible, el sistema:{ax+y−z=1x+2y+z=2x+3y−z=0\begin{cases} ax + y - z = 1 \\ x + 2y + z = 2 \\ x + 3y - z = 0 \end{cases}
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Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Sea la función f(x)=x4−x2f(x) = x\sqrt{4 - x^2}.
a
Determinar el dominio, intervalos de crecimiento y decrecimiento y los extremos relativos.2 pts
b
Esbozar su gráfica.0,5 pts
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Determinar el área limitada por la parábola de ecuación y2=xy^2 = x y la recta de ecuación y=x−2y = x - 2.
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Determinar la ecuación de la recta que pasa por el punto P(2,1,1)P(2, 1, 1) y corta perpendicularmente a la recta r≡x−22=y−12=zr \equiv \frac{x - 2}{2} = \frac{y - 1}{2} = z.
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
a
Si se sabe que el determinante ∣a1b1c1a2b2c2a3b3c3∣\begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix} vale 5, calcular razonadamente∣a12a23a3b12b23b3c12c23c3∣y∣a1b1c1a2+a3b2+b3c2+c3a2b2c2∣\begin{vmatrix} a_1 & 2a_2 & 3a_3 \\ b_1 & 2b_2 & 3b_3 \\ c_1 & 2c_2 & 3c_3 \end{vmatrix} \quad \text{y} \quad \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 + a_3 & b_2 + b_3 & c_2 + c_3 \\ a_2 & b_2 & c_2 \end{vmatrix}1,5 pts
b
Si AA es una matriz cuadrada de tamaño 2×22 \times 2 para la cual se cumple que A−1=AtA^{-1} = A^t (At=traspuesta de la matriz AA^t = \text{traspuesta de la matriz } A), ¿puede ser el determinante de AA igual a 3?1 pt
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