Matemáticas II · Castilla y León 2010

Se divide un alambre de $100\,\text{m}$ de longitud en dos segmentos de longitud $x$ y $100 - x$. Con el de longitud $x$ se forma un triángulo equilátero, y con el otro un cuadrado. Sea $f(x)$ la suma de las áreas. ¿Para qué valor de $x$ dicha suma es mínima?

Sea la función $f(x) = x\sqrt{4 - x^2}$.

Determinar la función $f$ tal que $f'(x) = \frac{x^4 + x + 1}{x^2 + x}$ y con $f(1) = 2$.

Determinar el área limitada por la parábola de ecuación $y^2 = x$ y la recta de ecuación $y = x - 2$.

Determinar la ecuación de la recta que pasa por el punto $P(2, 1, 1)$ y corta perpendicularmente a la recta $r \equiv \frac{x - 2}{2} = \frac{y - 1}{2} = z$.

Discutir, y resolver en los casos que sea posible, el sistema: $$\begin{cases} ax + y - z = 1 \\ x + 2y + z = 2 \\ x + 3y - z = 0 \end{cases}$$