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la cuevadel empollón
Matemáticas IICanariasPAU 2014Extraordinaria

Matemáticas II · Canarias 2014

4 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
Elija una de las opciones, A o B, y conteste a las cuatro cuestiones que componen la opción elegida. Si mezcla preguntas de las dos opciones el tribunal podrá anular su examen. En el desarrollo de cada problema, detalle y explique los procedimientos empleados para solucionarlo. Se califica todo. La duración del examen será de 90 minutos. No olvide pegar las etiquetas antes de entregar el examen.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Sea la función f(x)=ex2+ax+bf(x) = e^{x^2 + ax + b}
a
Calcular aa y bb para que f(x)f(x) tenga un extremo en el punto (1,1)(1,1).1,5 pts
b
Calcular los extremos de la función f(x)f(x) cuando a=0a = 0 y b=0b = 0.1 pt
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Calcular las integrales indefinidas siguientes:
a
∫5(3x−1)2dx\int \frac{5}{(3x - 1)^2} dx0,75 pts
b
∫x+41−x2dx\int \frac{x + 4}{\sqrt{1 - x^2}} dx1 pt
c
∫(x+1)32xdx\int \frac{(x + 1)^3}{2x} dx0,75 pts
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Estudiar, para los distintos valores del parámetro mm, el siguiente sistema de ecuaciones. Resolverlo cuando m=3m = 3.{mx−y+13z=0x+y+7z=02x−my+4z=0\begin{cases} mx - y + 13z = 0 \\ x + y + 7z = 0 \\ 2x - my + 4z = 0 \end{cases}
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Sea PP el punto de coordenadas P(1,0,1)P(1,0,1) y rr la recta de ecuación r≡{x+y−z=0x−2z=1r \equiv \begin{cases} x + y - z = 0 \\ x - 2z = 1 \end{cases}.
a
Hallar la ecuación en forma continua de una recta que pase por el punto PP y sea paralela a la recta rr.1,25 pts
b
Hallar la ecuación general de un plano que pase por el punto PP y contenga a la recta rr.1,25 pts
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Ejercicio 1

1
2,5 puntos
En la figura siguiente se muestran la parábola de ecuación f(x)=4−x2f(x) = 4 - x^2 y la recta rr que pasa por los puntos AA y BB de la parábola de abscisas respectivas −1-1 y 22. Hallar la ecuación de una recta ss tangente a la parábola f(x)f(x) y paralela a rr.
Gráfica de la parábola $f(x) = 4 - x^2$ y una recta secante $r$ que pasa por los puntos $A(-1, 3)$ y $B(2, 0)$.
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Calcular el área de la región plana limitada por la curva y=x(x−2)(x−3)y = x(x - 2)(x - 3) y la recta de ecuación y=0y = 0.
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Determinar los valores de los parámetros aa y bb para los que tiene inversa la matrizA=(a+b4baa+b)A = \begin{pmatrix} a + b & 4b \\ a & a + b \end{pmatrix}
a
Determinar los valores de los parámetros aa y bb para los que tiene inversa la matriz AA.1,5 pts
b
Calcula la matriz A−1A^{-1} cuando a=3a = 3 y b=1b = 1.1 pt
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Determinar la posición relativa de los siguientes planos:β1≡{x=−1+3λ−2μy=4+λz=−2+2λ−5μ,β2≡x+y+z=2,β3≡∣x−212y+123z11∣=0\beta_1 \equiv \begin{cases} x = -1 + 3\lambda - 2\mu \\ y = 4 + \lambda \\ z = -2 + 2\lambda - 5\mu \end{cases}, \quad \beta_2 \equiv x + y + z = 2, \quad \beta_3 \equiv \begin{vmatrix} x - 2 & 1 & 2 \\ y + 1 & 2 & 3 \\ z & 1 & 1 \end{vmatrix} = 0
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