Matemáticas II · Canarias 2014

Sea la función $f(x) = e^{x^2 + ax + b}$

En la figura siguiente se muestran la parábola de ecuación $f(x) = 4 - x^2$ y la recta $r$ que pasa por los puntos $A$ y $B$ de la parábola de abscisas respectivas $-1$ y $2$. Hallar la ecuación de una recta $s$ tangente a la parábola $f(x)$ y paralela a $r$.

Calcular las integrales indefinidas siguientes:

Calcular el área de la región plana limitada por la curva $y = x(x - 2)(x - 3)$ y la recta de ecuación $y = 0$.

Estudiar, para los distintos valores del parámetro $m$, el siguiente sistema de ecuaciones. Resolverlo cuando $m = 3$. $$\begin{cases} mx - y + 13z = 0 \\ x + y + 7z = 0 \\ 2x - my + 4z = 0 \end{cases}$$

Determinar los valores de los parámetros $a$ y $b$ para los que tiene inversa la matriz $$A = \begin{pmatrix} a + b & 4b \\ a & a + b \end{pmatrix}$$

Sea $P$ el punto de coordenadas $P(1,0,1)$ y $r$ la recta de ecuación $r \equiv \begin{cases} x + y - z = 0 \\ x - 2z = 1 \end{cases}$.

Determinar la posición relativa de los siguientes planos: $$\beta_1 \equiv \begin{cases} x = -1 + 3\lambda - 2\mu \\ y = 4 + \lambda \\ z = -2 + 2\lambda - 5\mu \end{cases}, \quad \beta_2 \equiv x + y + z = 2, \quad \beta_3 \equiv \begin{vmatrix} x - 2 & 1 & 2 \\ y + 1 & 2 & 3 \\ z & 1 & 1 \end{vmatrix} = 0$$