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la cuevadel empollón
Matemáticas IIAndalucíaPAU 2022OrdinariaTitular

Matemáticas II · Andalucía 2022

8 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
a) Duración: 1 hora y 30 minutos. b) Este examen consta de 8 ejercicios distribuidos en 2 bloques (A y B) de 4 ejercicios cada uno. c) Cada ejercicio tiene un valor máximo de 2,5 puntos. d) Se realizarán únicamente cuatro ejercicios, independientemente del bloque al que pertenezcan. En caso de responder a más de cuatro ejercicios, se corregirán únicamente los cuatro que aparezcan físicamente en primer lugar. e) Se permitirá el uso de calculadoras que no sean programables, ni gráficas ni con capacidad para almacenar o transmitir datos. No obstante, todos los procesos conducentes a la obtención de resultados deben estar suficientemente justificados. f) En la puntuación máxima de cada ejercicio están contemplados 0,25 puntos para valorar la expresión correcta de los procesos y métodos utilizados.

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
2,5 puntos
Bloque A
Considera la función continua ff definida por f(x)={1xsix<−1ax+bsi−1≤x<1x2x+1six≥1f(x) = \begin{cases} \frac{1}{x} & \text{si} & x < -1 \\ ax + b & \text{si} & -1 \leq x < 1 \\ \frac{x^2}{x + 1} & \text{si} & x \geq 1 \end{cases}
a
Calcula aa y bb.1 pt
b
Estudia y halla las asíntotas de la gráfica de ff.1,5 pts
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Ejercicio 2 · Opción A

2Opción A
2,5 puntos
Bloque A
De entre todos los rectángulos con lados paralelos a los ejes de coordenadas, determina las dimensiones de aquel de área máxima que puede inscribirse en la región limitada por las gráficas de las funciones f,g:R→Rf, g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, definidas por f(x)=4−x23f(x) = 4 - \frac{x^2}{3} y g(x)=x26−2g(x) = \frac{x^2}{6} - 2.
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Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
2,5 puntos
Bloque A
Considera la función ff definida por: f(x)={2x+4six<0(x−2)2six≥0f(x) = \begin{cases} 2x + 4 & \text{si} \quad\allowbreak x < 0 \\ (x - 2)^2 & \text{si} \quad\allowbreak x \geq 0 \end{cases}
a
Calcula los puntos de corte de la gráfica de ff con el eje de abscisas y esboza la gráfica de la función.1 pt
b
Halla el área del recinto limitado por la gráfica de ff y por el eje de abscisas.1,5 pts
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Ejercicio 4 · Opción A

4Opción A
2,5 puntos
Bloque A
Considera la función ff definida por f(x)=x3x2−2x+1f(x) = \frac{x^3}{x^2 - 2x + 1} para x≠1x \neq 1. Halla una primitiva de ff que pase por el punto (2,6)(2, 6).
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Ejercicio 5 · Opción B

5Opción B
2,5 puntos
Bloque B
Considera el sistema:{x−y+mz=−3−mx+3y−z=1x−4y+mz=−6\begin{cases} x - y + mz = -3 \\ -mx + 3y - z = 1 \\ x - 4y + mz = -6 \end{cases}
a
Discute el sistema según los valores de mm.1,75 pts
b
Para m=2m = 2 resuelve el sistema, si es posible.0,75 pts
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Ejercicio 6 · Opción B

6Opción B
2,5 puntos
Bloque B
Considera la matriz A=(mmmmm1m1m)A = \begin{pmatrix} m & \sqrt{m} & \sqrt{m} \\ \sqrt{m} & m & 1 \\ \sqrt{m} & 1 & m \end{pmatrix}, donde m≥0m \geq 0.
a
¿Para qué valores de mm tiene inversa la matriz AA?1 pt
b
Para m=4m = 4 resuelve, si es posible, la ecuación matricial AX=12IAX = 12I, donde II es la matriz identidad de orden 3.1,5 pts
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Ejercicio 7 · Opción B

7Opción B
2,5 puntos
Bloque B
Se consideran los vectores u⃗=(−1,2,3)\vec{u} = (-1, 2, 3) y v⃗=(2,0,−1)\vec{v} = (2, 0, -1), así como el punto A(−4,4,7)A(-4, 4, 7).
a
Calcula aa y bb para que el vector w⃗=(1,a,b)\vec{w} = (1, a, b) sea ortogonal a u⃗\vec{u} y v⃗\vec{v}.0,75 pts
b
Determina los cuatro vértices de un paralelogramo cuyos lados tienen las direcciones de los vectores u⃗\vec{u} y v⃗\vec{v}, y que tiene al vector OA→\overrightarrow{OA} como una de sus diagonales, siendo OO el origen de coordenadas.1,75 pts
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Ejercicio 8 · Opción B

8Opción B
2,5 puntos
Bloque B
Considera la recta r≡x−2=y−1=z−12r \equiv x - 2 = \frac{y}{-1} = \frac{z - 1}{2}, así como la recta ss determinada por el punto P(1,2,3)P(1, 2, 3) y el vector director v⃗=(1+a,−a,3a)\vec{v} = (1 + a, -a, 3a).
a
Calcula aa para que las rectas rr y ss se corten.1,5 pts
b
Calcula aa para que las rectas rr y ss sean perpendiculares.1 pt
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