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la cuevadel empollón
Matemáticas IILa RiojaPAU 2012Ordinaria

Matemáticas II · La Rioja 2012

5 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
El alumno contestará a los ejercicios de una de las dos propuestas {A o B} que se le ofrecen. Nunca deberá contestar a ejercicios de una propuesta y a ejercicios distintos de la otra. Es necesario justificar las respuestas. Se permite el uso de calculadoras científicas siempre que no sean programables ni gráficas ni calculen integrales. Si algún alumno es sorprendido con una calculadora no autorizada, podrá ser expulsado del examen; en todo caso, se le retirará la calculadora sin que tenga derecho a que le proporcionen otra. Tiempo: Una hora y media.
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Ejercicio 1

1
1 punto
Sea f(x)f(x) una función positiva en el intervalo [1,5][1, 5], así f(x)≥0f(x) \geq 0 para 1≤x≤51 \leq x \leq 5. Si el área limitada por f(x)f(x), el eje de abscisas (eje xx) y las rectas x=1x = 1 y x=5x = 5 es igual a 66, calcula el área del recinto limitado por la función G(x)=f(x)+2G(x) = f(x) + 2 y las mismas rectas.
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Ejercicio 2

2
1,5 puntos
Calcula el siguiente límite:lim⁡x→01+x−exsen⁡2x\lim_{x \to 0} \frac{1 + x - e^x}{\sen^2 x}
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Ejercicio 3

3
1,5 puntos
Si A=(2132)A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} y B=(1−102)B = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}, determina la matriz XX despejándola previamente de la ecuación matricial:2A−AX=BX2A - AX = BX(Observa las dimensiones que ha de tener la matriz XX para que la ecuación matricial tenga sentido.)
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Ejercicio 4

4
3 puntos
Prueba que para cualquier valor de a≠0a \neq 0, los planos x+ay−az=0x + ay - az = 0 y −x+2ay−2az=0-x + 2ay - 2az = 0 se cortan en una recta rr. Calcula la posición relativa de rr respecto del plano que pasa por el origen de coordenadas y los puntos A(1,0,−6)A(1, 0, -6) y B(0,2,a+3)B(0, 2, a + 3) (se supone que aeq0a eq 0 para que rr esté definida).
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Ejercicio 5

5
3 puntos
Calcula el dominio y representa gráficamente la funciónf(x)=ln⁡xx+1f(x) = \ln \frac{x}{x + 1}
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Ejercicio 1

1
1 punto
Sea f(x)f(x) una función positiva en el intervalo [1,5][1, 5], así f(x)≥0f(x) \geq 0 para 1≤x≤51 \leq x \leq 5. Si el área limitada por f(x)f(x), el eje de abscisas (eje xx) y las rectas x=1x = 1 y x=5x = 5 es igual a 66, calcula el área del recinto limitado por la función G(x)=f(x)+2G(x) = f(x) + 2 y las mismas rectas.
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Ejercicio 2

2
1,5 puntos
Calcula el siguiente límite:lim⁡x→01+x−exsen⁡2x\lim_{x \to 0} \frac{1 + x - e^x}{\sen^2 x}
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Ejercicio 3

3
1,5 puntos
Si A=(2132)A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} y B=(1−102)B = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}, determina la matriz XX despejándola previamente de la ecuación matricial:2A−AX=BX2A - AX = BX(Observa las dimensiones que ha de tener la matriz XX para que la ecuación matricial tenga sentido.)
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Ejercicio 4

4
3 puntos
Enuncia el teorema de Rolle. Encuentra los ceros de la primera derivada de la función f(x)=x3−12x+af(x) = x^3 - 12x + a. Usa finalmente la información previa para probar que, con independencia del valor de aa, la ecuación x3−12x+a=0x^3 - 12x + a = 0 no tiene dos soluciones distintas en el intervalo [−2,2][-2, 2].
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Ejercicio 5

5
3 puntos
Discute el sistema dependiendo de los valores del parámetro aa y resuelve completamente en los casos en que sea posible:{x−2y+z=−2−x+y+az=12x+ay+4z=−2\begin{cases} x - 2y + z = -2 \\ -x + y + az = 1 \\ 2x + ay + 4z = -2 \end{cases}
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