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la cuevadel empollón
Matemáticas IIBalearesPAU 2019Ordinaria

Matemáticas II · Baleares 2019

4 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
El examen incluye tabla N(0,1) como anexo. Contestad de manera clara y razonada una de las dos opciones propuestas. Se dispone de 90 minutos. Cada cuestión se puntúa sobre 10 puntos. La calificación final se obtiene de dividir el total entre 4. Se valorarán la corrección y la claridad en el lenguaje (matemático y no matemático) empleado por el alumno. Se valorarán negativamente los errores de cálculo. Pueden utilizar calculadora de cualquier tipo, científica, gráfica o programable, pero no se autorizará el uso de las que lleven información almacenada o puedan transmitirla.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
10 puntos
a
Discutid para qué valores de aa el sistema siguiente es compatible:{(a+2)x+(a−1)y−z=1ax−y+z=−111x+ay−z=a\begin{cases} (a + 2) x + (a - 1) y - z = 1 \\ a x - y + z = - 1 \\ 11 x + a y - z = a \end{cases}7 pts
b
Resolvedlo en el caso en que a=0a = 0.3 pts
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Ejercicio 2

2
10 puntos
Las funciones f(x)=x4+ax2+bxf(x) = x^4 + ax^2 + bx y g(x)=x−cx2g(x) = x - cx^2 pasan por el punto (1,0)(1, 0). Determinad los coeficientes aa, bb y cc para que tengan la misma recta tangente en este punto y calculadla.
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Ejercicio 3

3
10 puntos
Determinad la posición relativa del plano x+y+z=1x + y + z = 1 con la recta de ecuaciones x−1=y−1=z−1−2x - 1 = y - 1 = \frac{z - 1}{- 2}. Calculad la proyección ortogonal de la recta sobre el plano.
a
Determinad la posición relativa del plano x+y+z=1x + y + z = 1 con la recta de ecuaciones x−1=y−1=z−1−2x - 1 = y - 1 = \frac{z - 1}{- 2}.4 pts
b
Calculad la proyección ortogonal de la recta sobre el plano.6 pts
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Ejercicio 4

4
10 puntos
Las alturas XX de los estudiantes de 18 años de los institutos de Palma se modelan según una ley normal de media μ=1,78\mu = 1{,}78 m y desviación típica σ=0,65\sigma = 0{,}65 m. Se pide:
Datos
  • μ=1,78 m\mu = 1{,}78\,\text{m}
  • σ=0,65 m\sigma = 0{,}65\,\text{m}
a
Porcentaje de estudiantes de 18 años de los institutos de Palma que miden más de 1,901{,}90 m.4 pts
b
Tomamos una muestra de 100 estudiantes de 18 años de los institutos de Palma y queremos seleccionar los 30 más altos. ¿Cuál es la altura mínima que ha de tener un estudiante de 18 años de los institutos de Palma para ser seleccionado?6 pts
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Ejercicio 1

1
10 puntos
Consideramos la matriz y los vectores siguientes:A=(xy0y),b=(232),c=(y2y),d=(6−2y−2)\mathbf{A} = \begin{pmatrix} x & y \\ 0 & y \end{pmatrix}, \quad \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 2 \\ \frac{3}{2} \end{pmatrix}, \quad \mathbf{c} = \begin{pmatrix} y \\ 2y \end{pmatrix}, \quad \mathbf{d} = \begin{pmatrix} 6 - 2y \\ - 2 \end{pmatrix}Calculad xx e yy para que se verifique:b−A⋅c=A⋅d\mathbf{b} - \mathbf{A} \cdot \mathbf{c} = \mathbf{A} \cdot \mathbf{d}
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Ejercicio 2

2
10 puntos
Consideramos la región delimitada por la función f(x)=x2−x4f(x) = x^2 - x^4 y el eje de abscisas o eje OX.
a
Haced un esbozo de la región pedida.6 pts
b
Calculad el área de la región.4 pts
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Ejercicio 3

3
10 puntos
Consideramos la recta x−12=y+1=−z+1\frac{x - 1}{2} = y + 1 = - z + 1 y el plano x−y=0x - y = 0. Calculad el área del triángulo formado por el punto de corte entre la recta y el plano, el punto (1,−1,1)(1, -1, 1) de la recta y la proyección ortogonal de este punto sobre el plano.
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Ejercicio 4

4
10 puntos
En una comunidad de 500 estudiantes de segundo de bachillerato, 200 estudian la opción científica tecnológica. Hay 150 que practican fútbol y 100 que practican baloncesto (entendemos que no hay ninguno que practique fútbol y baloncesto a la vez). De los que practican baloncesto, 70 estudian la opción científica tecnológica, y hay 150 estudiantes que no practican deporte ni hacen la opción científica tecnológica. Se pide:
a
Probabilidad de que un estudiante estudie la opción científica tecnológica y no practique deporte.3 pts
b
Sabiendo que un estudiante practica fútbol, ¿cuál es la probabilidad de que estudie la opción científica tecnológica?3 pts
c
¿Son independientes los sucesos "practicar fútbol" y "estudiar la opción científica tecnológica"? Razonad la respuesta.4 pts
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