Matemáticas II · Baleares 2019

Consideramos la matriz y los vectores siguientes: $$\mathbf{A} = \begin{pmatrix} x & y \\ 0 & y \end{pmatrix}, \quad \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 2 \\ \frac{3}{2} \end{pmatrix}, \quad \mathbf{c} = \begin{pmatrix} y \\ 2y \end{pmatrix}, \quad \mathbf{d} = \begin{pmatrix} 6 - 2y \\ - 2 \end{pmatrix}$$ Calculad $x$ e $y$ para que se verifique: $$\mathbf{b} - \mathbf{A} \cdot \mathbf{c} = \mathbf{A} \cdot \mathbf{d}$$

Las funciones $f(x) = x^4 + ax^2 + bx$ y $g(x) = x - cx^2$ pasan por el punto $(1, 0)$. Determinad los coeficientes $a$, $b$ y $c$ para que tengan la misma recta tangente en este punto y calculadla.

Consideramos la región delimitada por la función $f(x) = x^2 - x^4$ y el eje de abscisas o eje OX.

Determinad la posición relativa del plano $x + y + z = 1$ con la recta de ecuaciones $x - 1 = y - 1 = \frac{z - 1}{- 2}$. Calculad la proyección ortogonal de la recta sobre el plano.

Consideramos la recta $\frac{x - 1}{2} = y + 1 = - z + 1$ y el plano $x - y = 0$. Calculad el área del triángulo formado por el punto de corte entre la recta y el plano, el punto $(1, -1, 1)$ de la recta y la proyección ortogonal de este punto sobre el plano.

Las alturas $X$ de los estudiantes de 18 años de los institutos de Palma se modelan según una ley normal de media $\mu = 1{,}78$ m y desviación típica $\sigma = 0{,}65$ m. Se pide:

En una comunidad de 500 estudiantes de segundo de bachillerato, 200 estudian la opción científica tecnológica. Hay 150 que practican fútbol y 100 que practican baloncesto (entendemos que no hay ninguno que practique fútbol y baloncesto a la vez). De los que practican baloncesto, 70 estudian la opción científica tecnológica, y hay 150 estudiantes que no practican deporte ni hacen la opción científica tecnológica. Se pide: