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la cuevadel empollón
Matemáticas IIAndalucíaPAU 2015Variante 6

Matemáticas II · Andalucía 2015

4 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
a) Duración: 1 hora y 30 minutos. b) Tienes que elegir entre realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción A o realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción B. c) La puntuación de cada pregunta está indicada en la misma. d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara. e) Se permitirá el uso de calculadoras que no sean programables, gráficas ni con capacidad para almacenar o transmitir datos. No obstante, todos los procesos conducentes a la obtención de resultados deben estar suficientemente justificados.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Halla aa y bb sabiendo que es continua la función f:R→Rf : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} definida comof(x)={x+cos⁡(x)−aexx2si x≠0bsi x=0f(x) = \begin{cases} \frac{x + \cos(x) - a e^x}{x^2} & \text{si } x \neq 0 \\ b & \text{si } x = 0 \end{cases}
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Sea ff la función definida por f(x)=∣ln⁡(x)∣f(x) = |\ln(x)| para x>0x > 0 (ln⁡\ln denota la función logaritmo neperiano).
a
Esboza el recinto limitado por la gráfica de ff y la recta y=1y = 1.0,5 pts
b
Calcula los puntos de corte de la gráfica de ff con la recta y=1y = 1.0,5 pts
c
Calcula el área del recinto citado.1,5 pts
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Considera la matriz A=(01mm−10201−m0)A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & m \\ m - 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 - m & 0 \end{pmatrix}
a
Halla el valor, o valores, de mm para los que la matriz AA tiene rango 2.1,75 pts
b
Para m=1m = 1, determina A2015A^{2015}.0,75 pts
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Sean los planos π≡x+3y+2z−5=0\pi \equiv x + 3y + 2z - 5 = 0 y π′≡−2x+y+3z+3=0\pi' \equiv -2x + y + 3z + 3 = 0.
a
Determina el ángulo que forman π\pi y π′\pi'.1,5 pts
b
Calcula el volumen del tetraedro limitado por π\pi y los planos coordenados.1 pt
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Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Sea f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R} la función definida por f(x)=(x2+3x+1)e−xf(x) = (x^2 + 3x + 1) e^{-x}.
a
Estudia y calcula las asíntotas de la gráfica de ff.1 pt
b
Halla los puntos de la gráfica de ff cuya recta tangente es horizontal.1 pt
c
Determina la ecuación de la recta tangente a la gráfica de ff en el punto de abscisa x=0x = 0.0,5 pts
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Calcula ∫e2xsen⁡(x) dx\int e^{2x} \sen(x) \, dx.
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Considera el siguiente sistema de ecuaciones{x+αz=22x+αy=α+43x+y+(α+4)z=7\begin{cases} x + \alpha z = 2 \\ 2x + \alpha y = \alpha + 4 \\ 3x + y + (\alpha + 4)z = 7 \end{cases}
a
Discute el sistema según los valores de α\alpha.1,75 pts
b
Resuelve el sistema para α=2\alpha = 2.0,75 pts
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Sean el punto P(1,6,−2)P(1, 6, -2) y la recta r≡x−56=y+1−3=z2r \equiv \frac{x - 5}{6} = \frac{y + 1}{-3} = \frac{z}{2}.
a
Halla la ecuación general del plano π\pi que contiene al punto PP y a la recta rr.1 pt
b
Calcula la distancia entre el punto PP y la recta rr.1,5 pts
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