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la cuevadel empollón
Matemáticas IIBalearesPAU 2018Ordinaria

Matemáticas II · Baleares 2018

4 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
El examen incluye tabla N(0,1) como anexo. Contestad de manera clara y razonada una de las dos opciones propuestas. Se dispone de 90 minutos. Cada cuestión se puntúa sobre 10 puntos. La calificación final se obtiene de dividir el total entre 4. Se valorarán la corrección y la claridad en el lenguaje (matemático y no matemático) empleado por el alumno. Se valorarán negativamente los errores de cálculo. Puede utilizar calculadora de cualquier tipo, científica, gráfica o programable, pero no se autorizará el uso de las que lleven información almacenada o puedan transmitirla.
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Ejercicio 1

1
10 puntos
a
Discutid para qué valores de mm el sistema siguiente es compatible:{4x+my+z=m+2x+y+mz=−2(m+1)4x+y+z=m\begin{cases} 4x + my + z = m + 2 \\ x + y + mz = -2(m + 1) \\ 4x + y + z = m \end{cases}7 pts
b
Resolvedlo en el caso en que m=0m = 0.3 pts
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Ejercicio 2

2
10 puntos
Consideramos la función f(x)=x2+1x2−1f(x) = \frac{x^2 + 1}{x^2 - 1}.
a
Haced un dibujo aproximado de la función anterior en el intervalo [−1,1][-1, 1].5 pts
b
Calculad el área limitada por la gráfica de la función anterior, el eje de las XX y las rectas verticales x=−12x = -\frac{1}{2} y x=12x = \frac{1}{2}.5 pts
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Ejercicio 3

3
10 puntos
Determinad los puntos AA, BB y CC de la recta x−12=y+62=z−63\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 6}{2} = \frac{z - 6}{3} que están en los planos coordenados y determinad cuál de estos tres puntos, AA, BB, CC, está situado entre los otros dos.
a
Determinad los puntos AA, BB y CC de la recta que están en los planos coordenados.6 pts
b
Determinad cuál de estos tres puntos, AA, BB, CC, está situado entre los otros dos.4 pts
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Ejercicio 4

4
10 puntos
Queremos hacer un estudio de las opiniones políticas de los estudiantes de primer curso de la UIB. Por eso, hemos tomado una muestra representativa de 500 estudiantes de primer curso y les hemos preguntado qué partido político votaron en las últimas elecciones. De los 500 estudiantes, 200 respondieron que votaron al PP, 100 al PSIB y el resto a otras formaciones políticas. Sabiendo que 200 de los estudiantes eran chicos, que el 40%40\% de los votantes del PP son chicas y que el 50%50\% de los votantes del PSIB son chicos, se pide:
a
La probabilidad de que un estudiante haya votado a otras formaciones políticas y sea chica.4 pts
b
La probabilidad de que un estudiante chico haya votado al PP.2 pts
c
La probabilidad de que un estudiante que ha votado a otras formaciones políticas sea chica.4 pts
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Ejercicio 1

1
10 puntos
Consideramos las matrices A=(1213)A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}, B=(1112)B = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}. Hallad la matriz XX que verifica:A⋅X⋅B=Id=(1001)A \cdot X \cdot B = Id = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
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Ejercicio 2

2
10 puntos
Hallad los valores aa, bb y cc para que la funciónf(x)={ax2+bx+5,si x<2cx+1,si x≥2f(x) = \begin{cases} ax^2 + bx + 5, & \text{si } x < 2 \\ cx + 1, & \text{si } x \geq 2 \end{cases}verifique las hipótesis del teorema de Rolle en el intervalo [0,4][0, 4] y determinad en qué punto(s) se verifica lo que asegura el teorema.
a
Hallad los valores aa, bb y cc para que la función verifique las hipótesis del teorema de Rolle en el intervalo [0,4][0, 4].6 pts
b
Determinad en qué punto(s) se verifica lo que asegura el teorema.4 pts
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Ejercicio 3

3
10 puntos
El plano perpendicular al punto medio del segmento de extremos P(0,3,8)P(0, 3, 8) y Q(2,1,6)Q(2, 1, 6) corta a los ejes coordenados en los puntos AA, BB y CC. Hallad el área del triángulo ABCABC.
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Ejercicio 4

4
10 puntos
Consideramos la población de estudiantes que han aprobado la selectividad en la convocatoria de junio un año determinado. Sea XX la variable aleatoria que modela la proporción de estudiantes de la población anterior que escoge estudiar un grado de humanidades. Esta variable aleatoria XX se modela con una distribución normal de media 0,350{,}35 y desviación típica 0,10{,}1. Se pide:
a
¿Cuál es la probabilidad de que en un año cualquiera más del 45%45\% de los estudiantes de la población considerada estudien un grado de humanidades?5 pts
b
En los últimos 10 años, ¿en cuántos años el porcentaje de estudiantes de la población considerada que han escogido estudiar un grado de humanidades no ha superado el 30%30\%?5 pts
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