Matemáticas II · Baleares 2018

Consideramos las matrices $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$. Hallad la matriz $X$ que verifica: $$A \cdot X \cdot B = Id = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$

Consideramos la función $f(x) = \frac{x^2 + 1}{x^2 - 1}$.

Hallad los valores $a$, $b$ y $c$ para que la función $$f(x) = \begin{cases} ax^2 + bx + 5, & \text{si } x < 2 \\ cx + 1, & \text{si } x \geq 2 \end{cases}$$ verifique las hipótesis del teorema de Rolle en el intervalo $[0, 4]$ y determinad en qué punto(s) se verifica lo que asegura el teorema.

Determinad los puntos $A$, $B$ y $C$ de la recta $\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 6}{2} = \frac{z - 6}{3}$ que están en los planos coordenados y determinad cuál de estos tres puntos, $A$, $B$, $C$, está situado entre los otros dos.

El plano perpendicular al punto medio del segmento de extremos $P(0, 3, 8)$ y $Q(2, 1, 6)$ corta a los ejes coordenados en los puntos $A$, $B$ y $C$. Hallad el área del triángulo $ABC$.

Queremos hacer un estudio de las opiniones políticas de los estudiantes de primer curso de la UIB. Por eso, hemos tomado una muestra representativa de 500 estudiantes de primer curso y les hemos preguntado qué partido político votaron en las últimas elecciones. De los 500 estudiantes, 200 respondieron que votaron al PP, 100 al PSIB y el resto a otras formaciones políticas. Sabiendo que 200 de los estudiantes eran chicos, que el $40\%$ de los votantes del PP son chicas y que el $50\%$ de los votantes del PSIB son chicos, se pide:

Consideramos la población de estudiantes que han aprobado la selectividad en la convocatoria de junio un año determinado. Sea $X$ la variable aleatoria que modela la proporción de estudiantes de la población anterior que escoge estudiar un grado de humanidades. Esta variable aleatoria $X$ se modela con una distribución normal de media $0{,}35$ y desviación típica $0{,}1$. Se pide: