Matemáticas CCSS · Extremadura 2014

Un horticultor ha estimado que necesita para su explotación agrícola un mínimo de 3600 unidades de hierro y 3600 unidades de magnesio que se suministran a través del abono. Existen dos tipos de abono: extra y súper. Cada kg de abono extra contiene 2 unidades de hierro y 6 unidades de magnesio. Cada kg de abono súper contiene 4 unidades de hierro y 3 unidades de magnesio. Si el kg de abono extra tiene un coste de 2.50 euros y el kg de abono súper un coste de 4 euros, se pide:

Sea la matriz $$A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 3 & 1 \end{pmatrix}.$$ Hallar la matriz $X$ que verifique $A^{-1}X = A$, siendo $A^{-1}$ la matriz inversa de $A$. Justificar la respuesta.

El número de viajeros al año (en miles) de un determinado aeropuerto durante los últimos 10 años viene dado por la función: $$N(t) = 0{,}1t^3 - 1{,}5t^2 + 2{,}7t + 25, \quad 1 \leq t \leq 10$$ donde $N$ es el número de viajeros en miles y $t$ es el año. Se pide, justificando las respuestas:

Un fondo de inversión invierte cierta cantidad en dos valores. Los beneficios dependen del porcentaje invertido en cada valor según la expresión $$F(x) = Ax(B - 1{,}25x) \quad \text{si} \quad 0 \leq x \leq 100,$$ donde $F$ denota el beneficio en euros y $x$ el porcentaje invertido en uno de los valores. Se sabe que el beneficio máximo se alcanza para $x = 40$ y es de 8000 euros.

Dos personas, A y B, comienzan un juego con 3 euros cada una. Al final de cada partida, la ganadora recibe 1 euro de la perdedora (no hay empates). Sabiendo que hay un 60% de posibilidades de que A gane una partida, y que el juego termina cuando una de las dos se queda sin dinero,

En un país en vías de desarrollo se quiere estimar la proporción de mujeres en su población. El país se compone de 4 regiones (A, B, C y D) con 1 millón, 2 millones, 2{,}5 millones y 7 millones de habitantes respectivamente. Se selecciona una muestra aleatoria estratificada del 1% de la población con afijación proporcional.