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la cuevadel empollón
Matemáticas IIGaliciaPAU 2005Extraordinaria

Matemáticas II · Galicia 2005

10 ejercicios

Instrucciones

En esta primera parte todos los alumnos deben responder a tres preguntas. Una sola pregunta de cada uno de los tres bloques temáticos: Álgebra Lineal, Geometría y Análisis. La puntuación máxima de cada pregunta es 2,5 puntos.

Ejercicio 1 · Opción 4.a

1Opción 4.a
2,5 puntos
Segunda parte4.a

Responda a una de las dos preguntas.

Calcule:
a
lim⁡n→∞(n2−5n+4−n)\lim_{n \to \infty} (\sqrt{n^2 - 5n + 4} - n)1,25 pts
b
lim⁡n→∞(2n−82n+1)\lim_{n \to \infty} (\frac{2^n - 8}{2^{n+1}})1,25 pts
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Ejercicio 1 · Opción 4.b

1Opción 4.b
2,5 puntos
Segunda parte4.b

Responda a una de las dos preguntas.

Todos los días se seleccionan, de manera aleatoria, 15 unidades de un proceso de taponado de botellas con el propósito de verificar el porcentaje de taponados defectuosos. La gerencia decidió detener el proceso cada vez que una muestra de 15 unidades tenga dos o más defectuosos. Si se sabe que la probabilidad de realizar un taponado defectuoso es pp, ¿cuál es la probabilidad de que, un determinado día, el proceso se detenga? (El resultado debe expresarlo en función de pp). Si p=0,1p = 0{,}1, ¿es más probable que en una caja no haya ningún defectuoso o que sean todos defectuosos? Justifique su respuesta.
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Ejercicio 1 · Opción álgebra lineal

1Opción álgebra lineal
2,5 puntos
Primeira parte (Parte Común)Álgebra lineal

Responda a una de las dos preguntas.

Resuelva la ecuación matricial: A⋅X+C=BA \cdot X + C = B, siendo:
Datos
  • A=(41−10)A = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}
  • B=(120−1−2−110)B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & -1 \\ -2 & -1 & 1 & 0 \end{pmatrix}
  • C=(0−12110−30)C = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & -3 & 0 \end{pmatrix}
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Ejercicio 1 · Opción análisis

1Opción análisis
2,5 puntos
Primeira parte (Parte Común)Análisis

Responda a una de las dos preguntas.

a
Continuidad lateral de una función en un punto.1 pt
b
Analice la continuidad, en el punto x=0x = 0, de la función ff dada por f(x)={2x−1xsi x<0cos⁡(x)x2+1si x≥0f(x) = \begin{cases} \frac{2^x - 1}{x} & \text{si } x < 0 \\ \frac{\cos(x)}{x^2 + 1} & \text{si } x \geq 0 \end{cases}1,5 pts
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Ejercicio 1 · Opción geometría

1Opción geometría
2,5 puntos
Primeira parte (Parte Común)Geometría

Responda a una de las dos preguntas.

a
¿Qué condición deben cumplir los coeficientes de las ecuaciones generales de dos planos para que estos sean perpendiculares?1 pt
b
Halle el ángulo que forman los planos π:2x−y+z−7=0\pi: 2x - y + z - 7 = 0 y σ:x+y+2z=11\sigma: x + y + 2z = 11.1,5 pts
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Ejercicio 2 · Opción 4.a

2Opción 4.a
2,5 puntos
Segunda parte4.a

Responda a una de las dos preguntas.

Calcule ∫x3+x+2x2+3dx\int \frac{x^3 + x + 2}{x^2 + 3} dx.
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Ejercicio 2 · Opción 4.b

2Opción 4.b
2,5 puntos
Segunda parte4.b

Responda a una de las dos preguntas.

Un distribuidor de cristalerías empaqueta las copas en lotes de cuatro copas cada uno. La función de masa de probabilidad del número de copas defectuosas en cada lote viene dada por:
k01234
P(X=k)0.9m0.020.010.005
a
Calcule el valor de mm.0,5 pts
b
Calcule la media de la variable XX.0,75 pts
c
Calcule la probabilidad de que al menos el 50%50\% de las copas de un lote sea defectuoso.1,25 pts
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Ejercicio 2 · Opción álgebra lineal

2Opción álgebra lineal
2,5 puntos
Primeira parte (Parte Común)Álgebra lineal

Responda a una de las dos preguntas.

Discuta y resuelva, según los valores del parámetro aa, el siguiente sistema de ecuaciones. Interprételo geométricamente en cada caso:
Datos
  • {2x−3y+z=0x−ay−3z=05x+3y−z=0\begin{cases} 2x - 3y + z = 0 \\ x - ay - 3z = 0 \\ 5x + 3y - z = 0 \end{cases}
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Ejercicio 2 · Opción análisis

2Opción análisis
2,5 puntos
Primeira parte (Parte Común)Análisis

Responda a una de las dos preguntas.

a
Enunciado e interpretación geométrica del Teorema Fundamental del Cálculo Integral para funciones continuas.1 pt
b
Sea F(x)=∫0xsen⁡(t2)dtF(x) = \int_{0}^{x} \sen(t^2) dt. Calcule la segunda derivada de la función FF (sin intentar resolver la integral).1,5 pts
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Ejercicio 2 · Opción geometría

2Opción geometría
2,5 puntos
Primeira parte (Parte Común)Geometría

Responda a una de las dos preguntas.

a
Definición de producto mixto de tres vectores. ¿Puede ocurrir que el producto mixto de tres vectores sea cero sin ser ninguno de los vectores el vector nulo? Razone la respuesta.1 pt
b
Para u⃗,v⃗,w⃗\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}, tres vectores en el espacio tales que ∣u⃗∣=2|\vec{u}| = 2, ∣v⃗∣=3|\vec{v}| = 3 y ∣w⃗∣=5|\vec{w}| = 5, halle los valores mínimo y máximo del valor absoluto de su producto mixto.1,5 pts
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