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la cuevadel empollón
Matemáticas IIAsturiasPAU 2017Extraordinaria

Matemáticas II · Asturias 2017

4 ejercicios

Instrucciones

El examen presenta dos opciones: A y B. Elegir una de ellas y responder razonadamente a los cuatro ejercicios de que consta dicha opción.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Determina los valores de aa para los que el sistema de ecuaciones tiene solución. Calcula las soluciones en los casos posibles.{x+y=12x+ay=25x+(3a−1)y=6−a\begin{cases} x + y = 1 \\ 2x + ay = 2 \\ 5x + (3a - 1)y = 6 - a \end{cases}
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Sea la gráfica de la parábola y=3x2y = 3x^2 en el intervalo [1,2][1, 2] y mm un valor de dicho intervalo.
Gráfica de la parábola y = 3x^2 en el intervalo [1, 2] con dos regiones sombreadas A y B separadas por el valor m.
a
Halla, en función de mm, el área de cada una de las partes sombreadas AA y BB.1,5 pts
b
¿Cuál es el valor de mm que hace mínima la suma de esas áreas?1 pt
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Sea el punto A(1,2,0)A(1, 2, 0) perteneciente a un plano π\pi. Calcula:
a
La ecuación del plano π\pi sabiendo que P(0,0,−2)P(0, 0, -2) pertenece a la recta perpendicular a π\pi que pasa por el punto AA.1 pt
b
La ecuación de un plano paralelo a π\pi y que esté a distancia 3 unidades del mismo.1 pt
c
Un punto BB perteneciente a π\pi y al plano π′:2x−y=0\pi' : 2x - y = 0 y que está a distancia 45\sqrt{45} de AA. (Observación: A∈π′A \in \pi')0,5 pts
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
En una cierta enfermedad el 60%60\% de los pacientes son hombres y el resto mujeres. Con el tratamiento que se aplica se sabe que se curan un 70%70\% de los hombres y un 80%80\% de las mujeres. Se elige un paciente al azar.
a
Calcula la probabilidad de que se cure de la enfermedad.1,25 pts
b
Si un paciente no se ha curado, ¿cuál es la probabilidad de que sea mujer?1,25 pts
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Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Dada la matriz A=(10−10x341−x)A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & x & 3 \\ 4 & 1 & -x \end{pmatrix} donde xx es un número real. Halla:
a
Los valores de xx para los que la matriz AA posea inversa.1 pt
b
La inversa de AA para x=2x = 2.1 pt
c
Con x=5x = 5, el valor de b∈Rb \in \mathbb{R} para que la matriz b⋅Ab \cdot A tenga determinante 1.0,5 pts
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Dada la función f(x)=x2x−4f(x) = \frac{x^2}{x - 4}
a
Estudia su dominio de definición y calcula sus asíntotas.1 pt
b
Halla, si existen, los máximos, mínimos y puntos de inflexión. Intervalos de crecimiento y decrecimiento, concavidad y convexidad.1 pt
c
Haz un esbozo de su gráfica.0,5 pts
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Dada la recta r:{x−y+2z=12x+y−5z=2r : \begin{cases} x - y + 2z = 1 \\ 2x + y - 5z = 2 \end{cases} y el plano π:ax−y+z+1=0\pi : ax - y + z + 1 = 0
a
Halla el valor de aa para que sean paralelos.1,5 pts
b
Para a=2a = 2, calcula la ecuación del plano π0\pi_0 que contiene a rr y es perpendicular a π\pi.1 pt
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
De una baraja española Daniel y Olga extraen 8 cartas: los cuatro ases y los cuatro reyes. Con esas 8 cartas Olga da dos cartas a Daniel y posteriormente una para ella. Calcula:
a
La probabilidad de que Daniel tenga dos ases.0,75 pts
b
La probabilidad de que Daniel tenga un as y un rey.0,75 pts
c
La probabilidad de que Olga tenga un as y Daniel no tenga dos reyes.1 pt
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