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la cuevadel empollón
Matemáticas IIAsturiasPAU 2017Extraordinaria

Matemáticas II · Asturias 2017

8 ejercicios

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
2,5 puntos
Determina los valores de aa para los que el sistema de ecuaciones tiene solución. Calcula las soluciones en los casos posibles. {x+y=12x+ay=25x+(3a−1)y=6−a\begin{cases} x + y = 1 \\ 2x + ay = 2 \\ 5x + (3a - 1)y = 6 - a \end{cases}
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Ejercicio 1 · Opción B

1Opción B
2,5 puntos
Dada la matriz A=(10−10x341−x)A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & x & 3 \\ 4 & 1 & -x \end{pmatrix} donde xx es un número real. Halla:
a)1 pts
Los valores de xx para los que la matriz AA posea inversa.
b)1 pts
La inversa de AA para x=2x = 2.
c)0,5 pts
Con x=5x = 5, el valor de b∈Rb \in \mathbb{R} para que la matriz b⋅Ab \cdot A tenga determinante 1.
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Ejercicio 2 · Opción A

2Opción A
2,5 puntos
Sea la gráfica de la parábola y=3x2y = 3x^2 en el intervalo [1,2][1, 2] y mm un valor de dicho intervalo.
Gráfica de la parábola y = 3x^2 en el intervalo [1, 2] con dos regiones sombreadas A y B separadas por el valor m.
Gráfica de la parábola y = 3x^2 en el intervalo [1, 2] con dos regiones sombreadas A y B separadas por el valor m.
a)1,5 pts
Halla, en función de mm, el área de cada una de las partes sombreadas AA y BB.
b)1 pts
¿Cuál es el valor de mm que hace mínima la suma de esas áreas?
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Ejercicio 2 · Opción B

2Opción B
2,5 puntos
Dada la función f(x)=x2x−4f(x) = \frac{x^2}{x - 4}
a)1 pts
Estudia su dominio de definición y calcula sus asíntotas.
b)1 pts
Halla, si existen, los máximos, mínimos y puntos de inflexión. Intervalos de crecimiento y decrecimiento, concavidad y convexidad.
c)0,5 pts
Haz un esbozo de su gráfica.
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Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
2,5 puntos
Sea el punto A(1,2,0)A(1, 2, 0) perteneciente a un plano π\pi. Calcula:
a)1 pts
La ecuación del plano π\pi sabiendo que P(0,0,−2)P(0, 0, -2) pertenece a la recta perpendicular a π\pi que pasa por el punto AA.
b)1 pts
La ecuación de un plano paralelo a π\pi y que esté a distancia 3 unidades del mismo.
c)0,5 pts
Un punto BB perteneciente a π\pi y al plano π′:2x−y=0\pi' : 2x - y = 0 y que está a distancia 45\sqrt{45} de AA. (Observación: A∈π′A \in \pi')
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Ejercicio 3 · Opción B

3Opción B
2,5 puntos
Dada la recta r:{x−y+2z=12x+y−5z=2r : \begin{cases} x - y + 2z = 1 \\ 2x + y - 5z = 2 \end{cases} y el plano π:ax−y+z+1=0\pi : ax - y + z + 1 = 0
a)1,5 pts
Halla el valor de aa para que sean paralelos.
b)1 pts
Para a=2a = 2, calcula la ecuación del plano π0\pi_0 que contiene a rr y es perpendicular a π\pi.
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Ejercicio 4 · Opción A

4Opción A
2,5 puntos
En una cierta enfermedad el 60%60\% de los pacientes son hombres y el resto mujeres. Con el tratamiento que se aplica se sabe que se curan un 70%70\% de los hombres y un 80%80\% de las mujeres. Se elige un paciente al azar.
a)1,25 pts
Calcula la probabilidad de que se cure de la enfermedad.
b)1,25 pts
Si un paciente no se ha curado, ¿cuál es la probabilidad de que sea mujer?
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Ejercicio 4 · Opción B

4Opción B
2,5 puntos
De una baraja española Daniel y Olga extraen 8 cartas: los cuatro ases y los cuatro reyes. Con esas 8 cartas Olga da dos cartas a Daniel y posteriormente una para ella. Calcula:
a)0,75 pts
La probabilidad de que Daniel tenga dos ases.
b)0,75 pts
La probabilidad de que Daniel tenga un as y un rey.
c)1 pts
La probabilidad de que Olga tenga un as y Daniel no tenga dos reyes.
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