Matemáticas II · País Vasco 2013

Dada la matriz $A = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 0 & a & 0 \\ 2 & 1 & a^2 - 1 \end{pmatrix}$, donde $a$ es un parámetro real,

Dado el sistema $$\begin{cases} mx + my + 2z = m \\ x + (m - 2)y = -1 \\ 2y + 2z = 2 \end{cases}$$

Considera la recta $r$ definida por $\frac{x - 2}{a} = \frac{y - 1}{4} = \frac{z + 1}{2}$ y el plano $2x - y + bz = 0$. Determinar los valores de $a$ y $b$ en los siguientes casos:

Sean $A = (2, 1, 0)$ y $\pi$ el plano de ecuación $2x + 3y + 4z = 0$.

Sea $f$ la función definida por $f(x) = \frac{2}{x^2 - 5x + 6}$. Obtener razonadamente:

Se divide un segmento de longitud $200\,\text{cm}$ en dos trozos. Con uno de los trozos se forma un cuadrado y con el otro un rectángulo en el que la base es el doble de la altura. Calcula la longitud de cada uno de los trozos con la condición que la suma de las áreas del cuadrado y del rectángulo sea mínima.

La parábola $y = (1/2)x^2$ divide al rectángulo de vértices $(0,0)$, $(4,0)$, $(4, 2)$ y $(0,2)$ en dos recintos. Calcular el área de cada uno de los recintos.

Calcula la siguiente integral: $$\int \frac{ax + b}{x^2 - 3x + 2} \, dx$$ en función de $a$ y de $b$.

El número $50! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \dots 48 \cdot 49 \cdot 50$. ¿En cuántos ceros acaba?

En la sucesión de los $210$ primeros números naturales: $$1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, \dots, 210$$ se suprimen los múltiplos de $7$. Calcular razonadamente la suma de los términos restantes.