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la cuevadel empollón
Matemáticas IIPaís VascoPAU 2013Ordinaria

Matemáticas II · País Vasco 2013

5 ejercicios

Instrucciones

Este examen tiene dos opciones. Debes contestar a una de ellas. No olvides incluir el código en cada una de las hojas de examen. El examen consta de cinco ejercicios. Cada ejercicio será valorado entre 0 y 2 puntos. Se podrán utilizar calculadoras no programables.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
2 puntos
Dada la matriz A=(−1010a021a2−1)A = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 0 & a & 0 \\ 2 & 1 & a^2 - 1 \end{pmatrix}, donde aa es un parámetro real,
a
Calcular razonadamente el rango de la matriz AA en función del parámetro aa.1,25 pts
b
Explicar si la matriz tiene inversa para el caso a=1a = 1 y en caso de que exista calcularla.0,75 pts
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Ejercicio 2

2
2 puntos
Considera la recta rr definida por x−2a=y−14=z+12\frac{x - 2}{a} = \frac{y - 1}{4} = \frac{z + 1}{2} y el plano 2x−y+bz=02x - y + bz = 0. Determinar los valores de aa y bb en los siguientes casos:
a
La recta rr es perpendicular al plano.1 pt
b
La recta rr está contenida en el plano.1 pt
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Sea ff la función definida por f(x)=2x2−5x+6f(x) = \frac{2}{x^2 - 5x + 6}. Obtener razonadamente:
a
El dominio y las asíntotas de la función f(x)f(x).0,5 pts
b
Los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función f(x)f(x).0,75 pts
c
Realizar un dibujo aproximado de la gráfica de dicha función.0,75 pts
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Ejercicio 4

4
2 puntos
La parábola y=(1/2)x2y = (1/2)x^2 divide al rectángulo de vértices (0,0)(0,0), (4,0)(4,0), (4,2)(4, 2) y (0,2)(0,2) en dos recintos. Calcular el área de cada uno de los recintos.
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Ejercicio 5

5
2 puntos
El número 50!=1⋅2⋅3…48⋅49⋅5050! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \dots 48 \cdot 49 \cdot 50. ¿En cuántos ceros acaba?
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Ejercicio 1

1
2 puntos
Dado el sistema{mx+my+2z=mx+(m−2)y=−12y+2z=2 \begin{cases} mx + my + 2z = m \\ x + (m - 2)y = -1 \\ 2y + 2z = 2 \end{cases}
a
Discutirlo según los valores del parámetro mm.1,5 pts
b
Resolverlo, si es posible, para m=5m = 5.0,5 pts
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Ejercicio 2

2
2 puntos
Sean A=(2,1,0)A = (2, 1, 0) y π\pi el plano de ecuación 2x+3y+4z=02x + 3y + 4z = 0.
a
Hallar el punto de π\pi de mínima distancia al punto AA y hallar dicha distancia.1 pt
b
Encontrar el punto BB simétrico de AA respecto al plano π\pi.1 pt
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Se divide un segmento de longitud 200 cm200\,\text{cm} en dos trozos. Con uno de los trozos se forma un cuadrado y con el otro un rectángulo en el que la base es el doble de la altura. Calcula la longitud de cada uno de los trozos con la condición que la suma de las áreas del cuadrado y del rectángulo sea mínima.
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Ejercicio 4

4
2 puntos
Calcula la siguiente integral:∫ax+bx2−3x+2 dx \int \frac{ax + b}{x^2 - 3x + 2} \, dx en función de aa y de bb.
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Ejercicio 5

5
2 puntos
En la sucesión de los 210210 primeros números naturales:1,2,3,4,5,6,7,8,9,…,210 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, \dots, 210 se suprimen los múltiplos de 77. Calcular razonadamente la suma de los términos restantes.
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